Обратная задача вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка

• Автор: Корчагина, Елена Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 113 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Г Л А В А I:
ВАРИАЦИОННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ И ВАРИАЦИОННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§1.1.Основные понятия
§1.2. Постановка задачи
§1.3. Две леммы
Г Л А В А И:
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ШЕСТОГО ПОРЯДКА
§2.1. Необходимые и достаточные условия существования решения обратной задачи
§2.2. Более подробные необходимые и достаточные условия существования решения обратной задачи -
§2.3. Следствия
§2.4. Примеры
ГЛАВА III:
ФУНКЦИОНАЛ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ШЕСТОГО ПОРЯДКА
§3.1. Вычисление вариационного интеграла
§3.2.Примеры
§3.3.Следствия
§3.4.Частные случаи
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
В развитии вариационного исчисления важную роль играют многие механические и физические задачи. В свою очередь методы вариационного исчисления широко используются в различных вопросах физики. Область применения вариационного исчисления достаточна обширна - оно имеет приложения в самой математике и играет значительную роль в естественных, технических и экономических науках.
Вариационное исчисление изучает общие методы решения экстремальных задач, связанных с функционалами [3], которые определены на множестве функций, кривых или поверхностей. Отдельные задачи, связанные с понятием функционала, рассматривались более трехсот лет назад. Важнейшие результаты здесь получили ещё И. Кеплер, П. Ферма, X. Гюйгенс, И. Ныотон, И. Бернулли, Ж. Лагранж, Л. Эйлер, К. Всйерштрасс и др. Дальнейшее развитие теории функционалов связано с разработкой вариационных принципов. Математическая модель в виде дифференциальных уравнений трактовалась как необходимое условие экстремума некоторого функционала или наоборот - уравнения получали из условия минимума некоторого функционала. При этом возникает хорошо известная обратная задача вариационного исчисления: для заданного дифференциального уравнения требуется найти функционал, обладающий тем свойством, что это дифференциальное уравнение является для функционала уравнением Эйлера. Вопросы соответствия дифференциальных уравнений вариационным принципам обсуждаются, например, в работах Anderson I.M., Duchamp Т.Е. [27, 28], Atherton R.W., Homsy G.M. [30], Douglas J. [35], Chrastina J. [33, 34], Anderson I., Thompson G. [29], Bauderon M. [32]. При решении дифференциальных уравнений вариационными методами важно найти не просто соответствующий функционал, но лучше - функционал, для которого решения уравнения

доставляют минимальные значения. Нахождению соответствующих функционалов посвящены работы Филиппова В.М. [20, 21, 22, 23, 24, 25] и Balatoni F. [31]. В абстрактной форме обратная задача вариационного исчисления означает вычисление вариационного интеграла от дифференциального выражения. Её рассматривали Угланов [26], Коша А. [13], Рапопорт И.М. [17, 18]. В частности, Рапопорт И.М. получил необходимые и достаточные условия разрешимости обратных задач вариационного исчисления для обыкновенных дифференциальных уравнений и для уравнений в частных производных и получил формулу для нахождения функционала в виде криволинейного интеграла, независящего от выбора пути интегрирования. Однако нахождение функционала по таким формулам связано с большими трудностями и зачастую в аналитическом виде не удаётся, поэтому продолжаются поиски более удобных решений обратной задачи.
Новые необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления и формулы для вычисления соответствующего функционала получил для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и четвёртого порядков, а также для дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных
В.Г. Задорожний [6, 8, 9].
Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений Задорожний В.Г. [7, 9] получил необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи. Оказалось, что соответствующий обратной задаче функционал находится в форме
где Р - функция от п + 1 переменной, только при некоторых дополнительных условиях. Причём на примерах показано, что без

Суз>(у(5))2 + А,(3)У(5) + ЕУ,3) - 2Бху^ - 2Еху{,) - 21^(4,у'у(5) - 2Еуу^у'--2А,,у(4,у"у(5) - 2Еу,у(л)у” - 2^у(4,у(зУ5> - 2£?Л«>У(3) - 20г/<з¥чу(4)у(5)--2£7г/(3,г/(4,2/(4)-2£>1/(4)г/(4,(у(5>)2-2£7г/(4,г/(4,2/(5)+^С'а:х2/(5)+|^а:Я:+^С'агуу,2/(5)+
+^А^АуА^У(5)4^'У"+^
+|^гу(з)2/(4)+|^хг/(4)2/(5)+^С';гг/г/,2/(5)+|^У2/'-Ь^С'уу(2//)22/(5)+|^х/У(у/)2+
+уАу'?/у/,У(5)+^г/у'^//+уС'уу«у'?/(3)у(5)+-1)2/г/»2/'у(3)+уС'уу(3)У/У(1^(5)+
+|а,усз>уУ4)4^4>У^5^
| АуУУ^’+^уУ'+у С'г/'Л/)2У(5)+^У'У'(У")2+|^'У"У"У(3^(5)+ ^У,''/У(3)+^ А'у<з,/У(4)У(5)+^у'у»,у''у(4)+^Ч'у(^"У(5)+уА'У{3)У(5)+ + |^У(3) + у + А/"г/"(у(3))2 + у С'У"у':|>у(3)у(1)у(5) + ^А/"!/(з>у(3)у(4) + |Ч"у(4>у(3)у(5)+
4^у(4) + оху^ + у^(з,у<4У5) + !^(з,у'у(4) + уС>уУ4)у(5)+
+|Ауз>у^У5У|а^
+^У(3)!/(3, (у(4))2 + |^(з)г/(4,У{4)У(5) + у Су(3)(уМ)2 + |оу(3)у^> + ^А^>У(5) + + ^ £)у!/(4>у'у(5) + ^ £)г/у(4)у"у(5) + ^ А/у*,у(3)у(5) + ^ £>г/(з)у(4)у(4)у(5) +

+з А(,,)у(4)(у(5))2 = °-
Приведем подобные члены в этом выражении
у Су(з) (у^ )2+ -.Ру(з) у^5А РуО) + - Ап/4) у® —2Еху(4)+-Оуу^) у'у(5) —2 у;+
+^г/,г/<4)у"у(5) - 2Еу1уа)у" + ^ А/'2/(4,У(3)УМ - 2А,'у4)У(3) + - А/<3¥4У4)УМ~