Исследование аттракторов дискретизаций параболических уравнений на неограниченных областях

• Автор: Колежук, Василий Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 131 с.

Глава I. Аттракторы полулинейного параболического уравнения

на прямой

§ 1. Терминология

§2. Теорема существования

§ 3. Оценки старших производных

§4. Существование аттракторов

§5. Оценки погрешности приближенных решений

§6. Оценка отклонения приближенных аттракторов

ГЛАВА II. Типичные свойства дискретизаций параболических

уравнений

§ 1. Построение динамических систем, порожденных

дискретизациями
§ 2. Регулярные значения и теорема трансверсальности
§3. Гиперболичность неподвижных точек динамических
систем
§ 4. Спектр дифференциалов в неподвижных точках.. 68 § 5. Характеризация свойства трансверсальности
пересечения инвариантных многообразий
§6. Общий результат о трансверсальности
§ 7. Применение общих теорем о трансверсальности
Глава III. Приложение
§ 1. Весовые пространства
§2. Дискретные весовые пространства
§3. Свойства проекторов
§4. Динамические системы, порожденные
дискретизациями параболического уравнения
Литература

В главе I исследуется уравнение (1) с оператором А = на прямой (то есть, в случае Г2 = И.),
9гм(<, а;) = х) — /(«(£, ж)), 7 > 0, а; € Л; (2)
м|<=о = «о- (3)
Вопросы сходимости "приближенных" решений и глобальных аттракторов полулинейных параболических уравнений на ограниченных областях к "точньш"хорошо изучены для различных схем дискретизации по переменным х (например, в работах [17],[25],[26]). Однако изучение динамических систем на неограниченных областях началось сравнительно недавно. Препятствием для изучения таких уравнений является то, что оператор ихх на прямой обычно не является положительно определенным и не имеет компактной резольвенты. Толчок к изучению аттракторов для уравнения (2) дала работа Бабина и Вишика [9], где было предложено понятие аттрактора, соответствующего паре пространств. Подмножество I С 77 называется глобальным (71', 77)-аттрактором динамической системы Ф, если
(1) I — компактное подмножество пространства 77;
(И) множество I инвариантно но отношению к действию системы Ф, то есть, Ф(£, I) = I для £ > 0;
(ш) множество I притягивает ограниченные подмножества пространства 77' в топологии пространства 77.
В работе [9] было показано, что уравнение (2) имеет аттрактор, соответствующий паре, состоящей из весового соболевского пространства и его же, но со слабой топологией. В дальнейшем появились и другие работы, посвященные существованию аттракторов, соответствующих различным парам пространств (см. напр. [21], [10]). В работе [21] изучалось уравнение Гинзбурга-Ландау и было показано, что у него есть глобальный аттрактор, соответствующий паре пространств с сильной топологией в обоих, а именно, паре постранств (7^1,„, 7П,7(Л)), где 771,7(Л) есть банахово пространство таких функций и : Л —» Л, что квадрат нормы
1М11.7 = [ Р(х)(их)2 + Ф)2)(1х
< /р<9+9_0(п+1)0(п+1)с£г-

-/'рРЖ$ ГЫ(п + 1)Н,х)(1 -х) + Уп+1(х)х)х л о
х(ц"+1(а:) - и((п + 1)Н,х))йх)0^п+1^х+
+1|0(п+1)11?^2 + (1К+1|1ол + К+1 + ^+1|1и/2. (5-12)
Оценим слагаемые раздельно:
/рО+д-в(п+1^в(п+1^х = -/<9_(р0(п+1))<9_0(п+1)с&; = я л
= ~1рд-в^Чх - /(5_/9)(Т_а0(п+1))9_0(п+1^а: < л л
< -/р|О_0("+1)|2^ + Се-1/р&(п+1Ц2<1х + Се1рд-е(п+1'>2с1х < л л л
< —||3_0(п+1^||ол/2 + С'£-1||0(п+1)||ол (5.13)
при соответствующем выборе числа е.
Далее,
Ц7>7М//'(«((« + 1)/1. ®)(1 - X) + ип+1(^)х)х
Л о
х(цп+1(а;) — л((п + 1)/1,ж))сД)0(п+1)сЬ|
< /Ррсг//'(и((п 4- 1)М)(1 - х) + Уп+1{х)х)-л о
•(лп+1(а:) - и((п+ 1)Н,х))с1х2с1х + ||0(п+1^||о,7 <
< С$руп^1(х) -Тли{{п + )11,х)2йх+ л
(напомним, что хп+1{х) — Д^н((п + 1)11, х) = 0("+1))
+£/р|Д^и((п + 1 )1г,х) - и((п + 1)Н,х)2(1х + ||0("+1)[|о7 < я
<С'^2||иО||ц7 + С'1|0(п+1)11о,7- (5-14)