Классификация интегрируемых эволюционных векторных дифференциальных уравнений третьего порядка

• Автор: Балахнёв, Максим Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Орел
• Количество страниц: 127 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Анизотропные уравнения на сфере В71
1.1 Основная теорема
1.2 Авто-преобразования Беклунда
2 Уравнения специального вида в М7!
2.1 Уравнения не содержащие и2
2.1.1 Основная теорема
2.1.2 Авто-преобразования Беклунда
2.2 Изотропные уравнения при условии огс1/о <1
2.2.1 Основная теорема
2.2.2 Авто-преобразования Беклунда
2.3 Другие интегрируемые случаи
3 Дифференциальные подстановки первого порядка
3.1 Основные теоремы
3.2 Точечные преобразования
3.3 Дифференциальные подстановки в §п
4 Формулы суперпозиции
4.1 Обобщения мКдФ
4.2 Уравнения типа мКдФ
4.3 Изотропные уравнения на сфере §п
4.4 Анизотропное обобщение уравнения Щварц-КдФ
4.5 Обобщение уравнения Ландау-Лифшица
Заключение
Список используемых источников

Введение
Классификация интегрируемых эволюционных уравнений и систем, а также изучение различных их свойств, входит в число приоритетных направлений научных исследований РАН и является известной тематикой в исследованиях большого числа современных математиков и физиков как в нашей стране, так и за рубежом. Интерес к этому направлению объясняется тем, что интегрируемые эволюционные уравнения и системы имеют приложения в математике и физике. Именно, наблюдение физического явления способствовало открытию первого интегрируемого эволюционного уравнения - уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ).
В августе 1834г. Скотт Расселл, изучая пропускную способность канала Юнион, который начинается у Эдинбурга, соединяется с каналом Форз-Клайд и тем самым соединяет оба побережья Шотландии, стал свидетелем необычайного и красивого явления и назвал его «большая уединенная волна». Расселл затем классифицировал волновые движения жидкости и проводил эксперименты с водой, чтобы их наблюдать [1]. Позже Буссинеском была получена более точная модель волн на воде, так называемое уравнение Буссинеска [2]. Уединенная волна привлекла внимание многих физиков, пытавшихся найти ее аналитическое описание вплоть до 1895 года, когда появилась работа Кортевега и де Фриза [3].
Открытие Гарднером, Грином, Краскалом и Миурой в 1968 году замечательного факта, что для уравнения КдФ существует аналитический метод решения задачи Коши [4], и сделанное впоследствии открытие, показавшее, что аналогичные методы применимы к уравнению синус-Гордоп и другим нелинейным уравнениям, вызвали революцию в математической физике 1970-80-х годов. Новый фундаментальный метод интегрирования дифференциальных уравнений получил название метода обратной задачи рассеяния.

Появившись впервые в теории волн на мелкой воде уравнение КдФ, встречается сегодня в теории решеток, физике плазмы и магнитной гидродинамике [5]. Приложения другого известного уравнения синус-Гордон охватывают такие различные области, как дислокации в кристаллах, джозефсоновские сверхпроводящие контакты, волны зарядовой плотности в одномерных органических проводниках и модели теории поля.
Именно приложения во многих областях физики объясняет повышенный интерес к различным интегрируемым эволюционным уравнениям и системам. Естественным образом возникает вопрос: существуют ли еще уравнения, кроме, например, КдФ или синус-Гордон, обладающие такими же свойствами? Анализ свойств известит,тх уравнений позволяет развивать методы их классификации - получения новых интегрируемых случаев.
На первой Киевской международной конференции в 1979 г. А. Б. Шабат сформулировал основные принципы симметрийного подхода к классификации интегрируемых уравнений, базирующегося на явных условиях интегрируемости. В этом же году, довольно близкий но духу подход был предложен в работе [6], но идеи этой работы не скоро получили должное развитие.
Первыми публикациями на тему явных условий интегрируемости для эволюционных уравнений являются работы [7, 8], в которых были введены понятия формальной симметрии и канонических плотностей. В работе [9] показано, что существование пары высших законов сохранения влечет за собой существование формальной симметрии. Кроме того, в этой работе представлен полный список уравнений вида Щ = иххх + /(и. их, ихх), обладающих высшими законами сохранения.
Симметрийный подход был расширен Р. И. Ямиловым на бесконечные системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений типа цепочки Тоды [10]. Эффективность методов А. Б. Шабата бы-

а остальные функции определены соотношениями
/2 = ф = <№[0,0] Н- Ь, ф = ай[0 о] + Ъ,
“[0,0]
= ФФ + д2 + 2д(дфу[0д - Ьт0)
4 Как и в самом уравнении (1.14), так и в его авто-преобразованин Беклунда (1.43), положим сначала а = 0, а затем Ъ — 0. Тогда ф — Ф = 0, д = —4А(ш0 + 5(0,0]/), = А(5[0,о]“[1д] - Урод])_1(“>о + /“[о,о])5[о,о] и мы приходим к авто-преобразованиго Беклунда для анизотропного уравнения Шварц-КдФ (1.14а):
Щ = ((ш0 + /У[о,о])(г?1 - гщи) + (гф + /5[0д])(гу014 - “)), (1.44)

/2 _ “[0,0] г _ ~ ~ ~2
/ -
“[0,0]
В изотропном пределе (1.44) переходит в авто-преобразование Беклунда для уравнения Шварц-КдФ. которое представлено в [80].
И, наконец, авто-преобразование Беклунда для уравнения (1.15) записывается так
и = — иди +
“[0,0]
_ /Д2 __ “[0,0] 1 ~ “[ОД] йр _ “[ОД] + А(/ + “[0,0]) д “[0,0] (л+ 5(0,0]) 5(0,0]
Л-2 = “[о,о] “(од] + А“(5)о — 5(0,0] “[о,о]);
/2 = “род] + “[о,о] _ “[0,0] 5[1д].
В заключение отметим, что все представленные выше авто-преобразования Беклунда при редукции д — кд переходят в правильные авто-преобразования Беклунда для соответствующих изотропных уравнений.

“[0,0] “й - “[ОД] “0 / + “[0,0]