Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях

• Автор: Починка, Ольга Витальевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 108 с.

Введение. История вопроса

Формулировка результатов

1 Введение множества топологических инвариантов

1.1 Основные определения

1.2 Вспомогательные факты

1.3 Определение схемы диффеоморфизма / € С?

1.4 Совершенная схема

1.4.1 Вспомогательные определения

1.4.2 Операции разрезания и склеивания на многообразии N

1.5 Структура схемы диффеоморфизма / £ О

1.5.1 Допустимая система окрестностей

1.5.2 Связь динамики диффеоморфизма / е б со схемой £>(/)
2 Необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов класса Сг
2.1 Вспомогательные леммы
2.2 Доказательство теоремы 2
2.2.1 Построение сопрягающего гомеоморфизма на множестве И^г(Еп)
2.2.2 Построение сопрягающего гомеоморфизма на множестве И'7'1 (Ер)
3 Построение диффеоморфизма /566, реализующего совершенную схему 5е в
3.1 Присоединение седловых точек

3.1.1 Присоединение седловых точек, двумерные
инвариантные многообразия которых не
содержат гетероклинических точек
3.1.2 Присоединение седловых точек, двумерные
инвариантные многообразия которых содержат гетероклинические точки
3.2 Присоединение узловых точек
Заключение
Список литературы

Введение. История вопроса
Предмет исследования. Настоящая диссертация посвящена топологической классификации структурно устойчивых дискретных динамических систем (каскадов), заданных на замкнутых трехмерных ориентируемых многообразиях, и охватывает исследования автора начиная с 1998 года.
Актуальность темы. Данная работа относится к одному из основных разделов качественной теории динамических систем — нахождению топологических инвариантов, определяющих разбиение многообразия на траектории с точностью до топологической эквивалентности.
Топологическая классификация динамических систем включает в себя следующие аспекты:
• нахождение топологических инвариантов для класса рассматриваемых динамических систем;
• доказательство полноты множества найденных инвариантов, то есть доказательство того, что совпадение множеств топологических инвариантов является необходимым и достаточным условием топологической эквивалентности (сопряженности) двух динамических систем;
• реализация, то есть построение по заданному множеству топологических инвариантов стандартного представителя в каждом классе топологически эквивалентных систем.
Приведем краткую информацию о результатах по топологической классификации структурно устойчивых потоков

то есть не зависит от выбора окрестностей ламинаций и диффеоморфизма, используемого при склейке.
Доказательство: Гладкая структура 3-многообразия на
пространстве Ms„ определяется склеиванием трехмерных гладких структур многообразий ЛГ и Y$n по границам посредством диффеоморфизма. Следовательно, Лfs„ — гладкое трехмерное многообразие без границы. Компактность многообразия следует от компактности многообразия JT.
Пусть У'(5П) = V'(Qq) U ... U V'(Qq) — объединение попарно непересекающихся окрестностей поверхностей Qq, ..., Qq отличных от V(Sn), М' = N int V'(Sn) и Jf'Sn — многообразие, полученное в результате операции разрезания и склеивания на многообразии N вдоль множества Sn посредством диффеоморфизма ф' : дЛГ' —>■ dYs„- Покажем, что существует диффеоморфизм g : Afs„
Согласно предложению 1.4.1 для этой цели, достаточно показать, что существует гомеоморфизм g : Af$„
Пусть Т (ДС) — подмножество множества Sn, состоящее из торов (бутылок Клейна). Положим Vn = {V(То) х ZT) U (V'(Ko) х ZK). Определим диффеоморфизм рп : Vn —» V(Sn) (р!п : Vn -+■ V'(Sn)) как отображение, совпадающее с вложением р^ : V(То) х {г} —¥ V(Tq) (p'Ti : F(T0) х {г} -> V'{Ti)) для каждого тора 2j £ Т и совпадающее с вложением р j : V(Ко) х {у} —>■ V(Kq) (p'Kj :
О ®
V(Ко) х {у} —> V'(Ki)) для каждой бутылки Клейна К& е ДС. Согласно [60] (теорема 6.5) существует изотопия pt : Vn —»• N (О < t < 1), состоящая из вложений и такая, что ро = рп и pi = р'п. Положим Ft = pt о p~J : V(Sn) —> ЛГ. Согласно [60] (теорема 1.3), существует изотопия Gt многообразия ЛГ такая, что б?*|„(ггп) = Ft. По построению гомеоморфизм Gi : N —» /Ф имеет следующие свойства:
1) СХ(У(5„)) = V'(Sn);
2) Gx переводит меридианы торов множества dV(Sn) в