Квазипериодические решения нелинейных систем дифференциальных уравнений

• Автор: Мошон, Петер
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 120 c. : ил

ГЛАВА I. КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ

ЧИСЛОМ ЧАСТОТ

§ I. Предварительные преобразования системы

§ 2. Условие Зигеля

§ 3. Применение теоремы Мозера

§ 4. Существование квазипериодических решений

§ 5. Гамильтоновы системы

§ б. Обратимые системы

§ 7. Уменьшение числа параметров

§ 8. Периодические системы

Глава II. КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 4-ОГО ГОРОДКА 8 С
§ 9. Нормальная форма в случае пары нулевых корней
с ненулевой линейной частью и пары чисто мнимых
корней
§10. Нормальная форма в случае обратимых систем
§11. Преобразование Ляпунова и введение малого
параметра *00
§12. Приложение теоремы Мозера
§13. Аналитические квазипериодические решения
ЛИТЕРАТУРА *46

Диссертация посвящена изучению аналитических квазипериоди-ческих решений нелинейных систем дифференциальных уравнений. Квазипериодические решения дифференциальных уравнений являются колебательными режимами, имеющими большое значение для теории нелинейных колебаний и ее приложений. Первым вопросом, который здесь возникает является вопрос об их существовании. При этом важно также изучить число базисных частот соответствующих квазипериодических решений. В диссертации рассматриваются нейтральные по отношению устойчивости положения равновесия системы в окрестности начала координат. Первая глава диссертации посвящена исследованию вопроса о существовании квазипериодических решений с недостаточно изученным диапазоном частот для Хп -мерной системы дифференциальных уравнений с ГЬ пар чисто мнимыми собственными значениями линейного приближения. Во второй главе рассматривается проблема существования аналитических квазипериодических решений четырехмерной системы, полученной естественным обобщением пары связанных гармонических осцилляторов слабой и сильной упругой сил. В диссертации изучаются важные для теории и приложений классы гамильтоновых и обратимых систем.
Функцию мы будем называть квазипериодической с базисными частотами Д1Г..} иЛ , если она представима в виде

где Ь-з є 2 Ц* і-,-", п.) , Сц...Дл £ С , ІбК
2,1 <4 О < + -о ,
а и уд, несоизмеримые вещественные числа.
Квазипериодические функции являются обобщением периодичесКвазипериодичность векторфункции определяется аналогично, по компонентам.
Исследование локального поведения решений систем нейтральных по отношению устойчивости было начато классиками качественной теории дифференциальных уравнений А.Пуанкаре и А.М. Ляпуновым. Основная трудность заключалась в возникновении так называемых "малых знаменателей". В преодолении этой трудности метод ускоренной сходимости, предложенный А.И.Колмогоровым в 1954 году [16], играл определяющую роль. После работы Колмогорова возникла новая теория, основанная на работах В.И.Арнольда, Ю.Н.Бибикова, Н.Н.Боголюбова, Ю.Мозера, В.А. Плисса и других £з,7-П,13,23,24,3][] . В диссертации применяются и развиваются результаты данной теории в случае аналитических систем, зависящих от параметров. Подробной постановке задачи предпошлем краткую формулировку основных результатов диссертации.
В первой части рассматривается -мерная вещественно аналитическая система дифференциальных уравнений, зависящих от малого (п-т.] -мерного параметра Ы. ,
ких ( ) и частным случаем почти-периодичееких функций.
(0.1)
где собственные числа
простые, чисто мнимые. Рассма-

ГлЮЛ о) + 2> ^елД0)^*
I » М-И, • • •>, 'а~

4. Формула (4.3) в [23| показывает, что / может быть выбрана не зависящей от £о.
Лемма доказана.
СЛЕДСТВИЕ. Система (1.16) имеет решение =
<^~0 5 0 = рЛ + ©о . Этому решению в силу (1.15) соответствует аналитическое решение
^ * ущ-Ь + ^ V }с} £Ця)
(1.18)

(|аН0О) Цы.)