О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве на полуоси

• Автор: Дыдымова, Халжат Избуллаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 90 с.

Содержание
Введение
Основные обозначения и определения
Некоторые сведения из теории функций и функционального
анализа
Краткое содержание
ГЛАВА 1. Теоремы существования и единственности решения
на полуоси
1.1. Вспомогательные леммы
1.2. Теорема об однозначной разрешимости уравнения в общем случае
1.3. Теорема об однозначной разрешимости при условиях на резольвенту главной части оператора Ь0
ГЛАВА 2. Устойчивость и оценки характеристических
показателей решений. Оценки решений начальных задач
2.1. Однозначная разрешимость и устойчивость решений.
Оценка характеристического показателя
2.2. Оценки решений начальных задач и вытекающие из них следствия об асимптотической устойчивости решений
ГЛАВА 3. Уравнения с линейным отклонением аргумента
3.1. Случай уравнения с экспоненциально убывающими коэффициентами
3.2. Теорема об однозначной разрешимости в случае уравнения с линейным отклонением аргумента
3.3. Примеры иллюстрации абстрактной теории
Литература

Введение
Главная задача науки - это описание и предсказание. Во многих важных случаях удобно задавать состояние системы в данный момент времени I при помощи конечно-мерного вектора х(/). Таким образом, мы придем к дифференциальному уравнению
<- = g{x,t), х(о) = с. т
Несмотря на весьма удовлетворительное состояние теории дифференциальных уравнений, возникает необходимость в изучении более сложных уравнений. Нужно принять во внимание тот факт, что скорость изменения в физических системах зависит не только от их состояния в настоящий момент времени, но и от их предыстории. Так возникла теория дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, принадлежащих к числу сравнительно молодых и бурно развивающихся разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, находят много приложений: в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, ряда экономических проблем, биофизических проблем и многих других.
Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились в литературе еще в XVIII в. в связи с решением задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Однако еще до совсем недавнего времени не были сформулированы основные теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в литературе не было даже четкой постановки начальной задачи. Это впервые сделано в диссертации А.Д.Мышкиса "Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом" (1949-1950).
Изучением скалярных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, кроме А.Д.Мышкиса, занимались С.Б.Норкин, Л.Э.Эльсгольц,

Р.Беллман, К.Кук, Н.В.Азбелев, А.М.Зверкин, Г.А.Каменский, В.Хан и др. Для линейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием оказываются весьма эффективными операционные методы (преобразование Лапласа) и метод шагов. Именно эффективность применения этих методов привела к тому, что линейные уравнения с постоянными коэффициентами и постоянными запаздываниями особенно часто встречаются в прикладных работах.
Следующим этапом в развитии теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом стали исследования по операторнодифференциальным уравнениям вида
х'(*)=А(( МО» (!)
где А(() - переменный неограниченный оператор, и

(0 = /(/), т>1 (2)

в различных пространствах.
Изучением уравнения (1) занимались многие авторы, в числе которых мы укажем на работы [28], [31], [19]. Существенных результатов в исследовании уравнения (2) достигли Э.Хилле, Р.Филлипс, К.Иосида, Т.Като. В этом уравнении А- - неограниченные операторы в банаховом пространстве
уравнений такого вида были получены теоремы существования задачи Коши (т = /).
Обобщением вышеуказанных уравнений является дифференциальнооператорное уравнение с отклоняющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве вида
+(о)=/(о> а=о)
j—Q I аг
Систематическим изучением этого уравнения занимался Р.Г.Алиев в работах [1]-[4].
ГЛАВА II. УСТОЙЧИВОСТЬ И ОЦЕНКИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РЕШЕНИЙ. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНЫХ ЗАДАЧ.
В этой главе мы доказываем теоремы существования и единственности решения уравнения

Ь,и(1) ш ДЩ- X У А, №*,(, А“(<) = /(О Ы0)
и получаем некоторые интегральные оценки для этих решений. При этом мы пользуемся хорошо известным методом замораживания, видоизменив его применительно к уравнению с отклоняющимся аргументом.
В дальнейшем нам понадобится следующая
Лемма 2.0.1. Если А е L0 (Y, Y) П (Х,Г), то Vy > 0 3 s > 0 такое, что при выполнении условий h(t) е HR, j/?(f)j < s, t е R, справедливо неравенство
|4ч, - s . *=0,1.
Доказательство. В силу леммы 2.1. ([4], п.0.0.2) V8 >0
+со 2 +°° /
j exp(2atA(sh{t) - l)Dktu{tydt < 2Ь2 |ехр(2аг)рй(г) - Щu(t Д +

2уЛ(5) Jexp(2af|(sÄ(<) -Ур,*к

+оо f
<4Ь2 exp(2o.t |»#)«| 4 «I
dt +