Аналитический вид обобщенных решений смешанных задач для волнового уравнения в случае нелокальных граничных условий и разрывных коэффициентов

• Автор: Кулешов, Александр Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 78 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Смешанные задачи для уравнения колебаний струны с граничными и нелокальными условиями первого и второго родов
1.1. Задачи с однородными нелокальными условиями
1.2. Задачи с однородными граничными условиями
1.3. Задачи с неоднородными граничными и нелокальными условиями
Глава 2. Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня и уравнения поперечных колебаний неоднородной струны, состоящих из двух участков разной плотности и упругости
2.1. Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня
2.2. Смешанные задачи для уравнения поперечных колебаний неоднородной струны
2.3. Теорема единственности
Заключение
Список литературы

Введение
Открытое в XVIII веке волновое уравнение является одним из важнейших в математической физике и связано с именами таких ученых, как Д’Аламбер, Эйлер, Д.Бернулли, Лагранж. С его помощью, наряду с механическими колебаниями, могут быть описаны процессы распространения электромагнитных, гравитационных и акустических волн в газах, жидкостях и твердых средах. Вклад в изучение классических решений смешанных или, как их еще называют, начально-краевых задач для волнового уравнения внесли многие известные математики. После выхода в свет работ Н.Винера, К.О.Фридрихса, Н.М.Гюнтера и основополагающей работы
С.Л.Соболева [1] в первой половине XX в. сформировался интерес к построению обобщенных решений начально-краевых задач. Фундаментальные результаты, касающиеся обобщенных решений смешанных задач для гиперболических уравнений, были получены О.А.Ладыженской [2] и В.А.Ильиным [3]. Начально-краевые задачи играют ключевую роль при изучении задач управления, которые рассматривались А.Г.Бутковским [4], Ж.Л.Лионсом [5], [6], Ф.П.Васильевым и его учениками [7]—[9]. В цикле работ, начатых В.А.Ильиным в 1999г. и продолженных его учениками [11]—-[48], а также Е.И.Моисеевым и его учениками [39]—[52], важнейшую роль при решении задач оптимального управления играют решения начально-краевых задач, найденные в явном аналитическом виде. Именно нахождению таких решений и посвящена данная работа.
В первой главе рассматриваются смешанные задачи для уравнения колебаний струны на отрезке с граничными условиями первого либо второго рода на левом конце и с нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского [10], связывающими значение решения или его производной по ж в двух точках: в произвольной внутренней точке отрезка и в правой граничной точке. В работах В.А.Ильина [15]—[17] в явном виде были найдены обобщенные решения исследуемых задач, а также проведена оптимизация граничного управления, в случае, когда указанные значения связаны

равенством со знаком плюс либо минус. Явный вид решения в случае закрепленного правого конца и неоднородного нелокального условия, связывающего разность значений производных решения по а; в граничных точках, был найден А.А.Холомеевой [51]. Основным результатом главы 1 является построение в явном виде обобщенных решений исследуемых задач в случае, когда неоднородное нелокальное условие задается произвольной линейной комбинацией значений решения или его производной по се в указанных двух точках.
Во второй главе рассматриваются смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня и уравнения поперечных колебаний неоднородной струны, состоящих из двух участков разной плотности и упругости. Отметим, что В.А.Ильиным [18] были найдены решения исследуемых задач в случае равных времен прохождения волны по каждому из участков; в [19]—[21] проведена оптимизация граничного управления краевым условием первого, а в [22] - второго рода. В случае условия равенства импедансов решения исследуемых смешанных задач, а также оптимизация граничного управления, рассматриваются в [23] и [24] соответственно. Задачи о возбуждении и успокоении колебаний неоднородного стержня с помощью граничного управления на одном конце были также рассмотрены
В.А.Ильиным в [25] и [26] соответственно. Основным результатом главы 2 является построение в явном виде обобщенных решений исследуемых смешанных задач в случае произвольных длин, плотностей и модулей Юнга для каждого из участков.
Полученные в работе аналитические формулы найдут применение при решении задач управления, описываемых рассмотренными уравнениями.
Автор глубоко благодарен В.А.Ильину за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку в работе. Автор благодарен Ф.П.Васильеву, А.А.Амосову,
В.М.Говорову, М.М.Потапову, А.В.Разгулину за ценные советы и обсуждения отдельных вопросов по теме диссертации. Также автор благодарит А.А.Никитина, И.Н.Смирнова за полезные обсуждения рассматриваемых задач.

2.1. Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня
В настоящей главе устанавливаются формулы, дающие обобщенные решения смешанных задач с нулевыми начальными условиями и граничными условиями первого либо второго родов для уравнения продольных колебаний стержня, а также для уравнения поперечных колебаний струны, состоящих из двух участков: 0 ж < xq, имеющего линейную плотность pi = const и модуль Юнга к = const, и участка Хо Ж < I, имеющего линейную ПЛОТНОСТЬ Р2 = const И модуль Юнга &2 = const. Пусть жо £ (О, I), к, &2, pi, р2 - положительные константы. Введем константы ах = л/, 2 = а также функции:
к при 0 X < Xq, к(х) = { р(х)
к2 при Жо х I,
р при 0 Ж < Жо,
Р2 при Жо Ж I.
Перейдем к рассмотрению процесса продольных колебаний неоднородного стержня. Математическая задача сводится к отысканию функции гфжД), удовлетворяющей уравнению

р(х)иа(х,г) = — (к(х)их(х,Ь)), (ж ,$е(Эт, (2-1-1)
принадлежащей классу ИЧОг)) удовлетворяющей нулевым начальным условиям
и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0 (2.1.2)
при 0 ж I, а также удовлетворяющей одной из следующих совокупностей граничных условий:
и( 0,1) = ц.(£)
(2.1.3)
и(1Д) = //(£),
где //(£) и и{к) - произвольные функции из класса ИО, Т], удовлетворяющие условиям д(0) = 0, гфО) = 0;