Необходимые условия экстремума в задачах оптимального управления с промежуточными ограничениями:

• Автор: Окулевич, А. И.
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1995
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 117 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1.
§ 1. Предварительные сведения и обозначения
§ 2. Постановка задачи
§ 3. Аппроксимирующее семейство и его свойства
§ 4. Необходимые условия первого и второго порядка в классе обобщенных управлений
ГЛАВА 2.
§ 5. Условия невырожденности принципа максимума
§ 6. Условия непрерывности гамильтониана. Примеры
§ 7. Необходимые условия первого порядка в задаче с фазовыми ограничениями
§ 8. Условия невырожденности принципа максимума в задаче с фазовыми ограничениями
ГЛАВА 3.
§ 9. Минимаксная задача
§10. Необходимые условия первого порядка в задаче с промежуточными и смешанными ограничениями
§11. Необходимые условия первого и второго порядка в классе обычных управлений
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ.
В современной теории экстремальных задач и оптимального управления одним из интересных (как с теоретической, так и с практической точек зрения) направлений исследований являются дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями (разрывные системы). Своеобразным фундаментом для изучения разрывных систем являются исследования, посвященные оптимизации систем с промежуточными ограничениями на траекториях.
Основы в теории оптимального управления были заложены академиком Л.С.Понтрягиным и группой его учеников [33]. Новые постановки задач оптимального управления привели к необходимости разработки принципиально новых методов исследований. Большой вклад в их создание внесли советские ученые: Л.С.Понтря-гин, В.Г.Болтянский, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко [33], Е.Р.Аваков [1], А.А.Аграчев и Р.В.Гамкрелидзе [2] - [3], А.В.Арутюнов [8], В.И.Благодатских [9], [43], А.Я.Дубо-вицкий и A.A.Милютин [23], Ю.Н.Жидков [24], А.Д.Иоффе и В.М.Тихомиров [25], Р.В.Гамкрелидзе и Г.Л.Харатишви-ли [20] - [21], А.М.Тер-Крикоров [35] и другие.
Диссертационная работа посвящена исследованию необходимых условий оптимальности в задачах оптимального управления с промежуточными ограничениями на траекториях. Основным аппаратом исследований
являются методы возмущений. При этом исходная экстремальная задача погружается в семейство аппроксимирующих ее задач, причем возмущенные задачи оказываются качественно проще исходной. После анализа и преобразования аппроксимирующих задач получаем результаты для исходной задачи предельным переходом по параметру возмущения.
В данной работе использованы следующие два метода возмущений: метод штрафов и метод ц - возмущений. Метод штрафов впервые был использован Р.Курантом [44] и позднее развивался многими авторами (см. например, [37], [27], [28]).
Опишем суть метода штрафов. Для получения необходимых условий экстремума наряду с задачей
f0(x) —> min, х € Х0, где множество Х0 задает ограничения, рассматривается семейство задач ft(x) —> min, зависящих от коэффициентов штрафа t, в которых ограничения отсутствуют, а функция ft подбирается так, что ft(x) f0(x), t —> оо V х е Х0, ft(x) —> +оо, t —> да V х g X0.
Для произвольного фиксированного значения
коэффициента штрафа t в задаче без ограничений выписываются необходимые условия первого, второго порядка и затем, переходя к пределу при t —» оо, получаем необходимые условия для исходной задачи.
Метод ц - возмущений был разработан А.В.Арутюно-вым [7] - [8]. Рассмотрим модельную задачу быстродейс-

Тогда решение неоднородного уравнения с начальными значениями 1, чХ) с помощью формулы Коши записывается в виде:
¥(1) = Х(1, (м/(Гх) + } X 1 (1, 1Х) Ь(1)сИ),
где Ь(1;) = —, X"1 - обратная матрица к X.

Вычислим последовательно значения функции ¥(1;) в промежуточных точках Ь2, ... , учитывая величину скачка в точке
¥(12) = Х(12, 1,) (11/(1!) + | X1 (1, 1!) Ь(1)сК),

¥(12 + 0) = ¥(12) + х2 = х(12, 1х) (¥(1х) + } X1 (1,11)Ь(1)Й1)+Х2,

¥(13) = Х(13, + 0) + } Х-!(1, 12) Ь(1)<И)
= Х(13, 1!) ¥(1х) + Х(13, 1!) + ) X1 V, Ь(1)с11) +

+ Х(13, 12) } Х1, 12) Ь(1)с11) + Х(13, 12) Х2,

¥(*з + 0) = ц/(Ф3) + х3 = Х(13, чХ) +
+ Х(13, 1х) / Х-1, 1Х) Ь(1)с11) +

+ Х(13, 12) / Х_1(1, 12) Ь(1)с11) + Х(13, 12)х2 + Хз,