Исследование многомерной смешанной задачи для одного класса нелинейных параболических уравнений четвертого порядка

• Автор: Аджалова, Наида Андам кызы
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 146 c. : ил

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ПОЧТИ ВСЮДУ МНОГОМЕРНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ЛДЯ ОЛДОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

§ I Первая априорная оценка для решений почти

всюду задачи (1.1)41.3)

§2 0 некоторых свойствах оператора Т(Ы)

4^0,1), и4р,Ш), гг

§ 3 Вторая априорная оценка для решений почти

всюду задачи (1.1)41.3)

§ 4 Существование решения почти всюду задачи

(І.І)-(І.З)

§ 5 Единственность решения почти всюду задачи

(I.!)-(!.3) ;

Глава II. ИССЛЕДОВАНИЕ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
§ I Единственность классического решения задачи
(2.1)42.3)
§ 2 Существование классического решения задачи
(2.1)42.3) в случае Б = Р(+,ОР,Ц^), И
§ 3 Существование классического решения задачи
(2.1)42.3) в случае Р = Р0:,Л1, 11, II.Д й$9
§ 4 Существование классического решения задачи
(2.1)42.3) в случае Р= РО:,®,Ы, 11^, 11^.,
П «
ЛИТЕРАТУРА

Данная диссертационная работа посвящена изучению вопросов существования и единственности почти всюду и классического решений следующей многомерной смешанной задачи в конечной области с граничными условиями типа Рикье для одного класса нелинейных параболических уравнений четвертого порядка:

(£ч)и ДиудщддафДкД), (од)
и(0,Х) = Ф(Т) (®€й), (КО), (0.2)
и(д)|г=о, ьиа,ао|г-о, (°-3>
где 0<Т< + °о, Ж = (л:1 - П - мерная ограниченная область с достаточно гладкой границей 5^ Г=(П,Т)*3
ш Да®!?'0®“’
в области
аиСО-ОцОО, а(т>о,ХаЛ^к2^^‘СюН). «о.5>
ц^=1 * * 1
р. - любые действительные числа; 9* » Ф » Р - заданные
о Ь
функции, а - искомая функция; кроме того, для краткости
записи, в данной работе пользуемся обозначениями
= ’°*6)
а под почти всюду и классическими решениями задачи (0.1)-(0.3) понимаем следующее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Решением почти всюду задачи (0.1)-(0.3)
2 1|
назовем функцию UQt,I!)€ V/t 2 (QT) « удовлетворяющую уравнению (0.1) почти всюду в QT , принимающую начальные значения (0.2) и удовлетворяющую граничным условиям (0.3) в смысле следов, т.е. почти всюду соответственно в областях .Q. и Г ; причем Ит е (oj) X ÇL.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Под классическим решением задачи (0.1)-(0.3) понимаем функцию U(t,I!)£ Р ’ (QT') , удовлетворяющую всем усло-ВИЯМ (0.1)-(0.3) в обычном смысле.
В данной работе получены следующие результаты:
а) для любых размерностей П доказана теорема существования в целом решения почти всюду задачи (0.1)—(0.3);
б) для любых размерностей И установлены теоремы единственности в целом для почти всюду и классического решений задачи (0.1)—(0.3);
в) для случаев F=F(t,ï, U) , F = F(t,3C, U, Ua0 и
F = FCtjTjU, ttx, Ut, Uœ30) уравнения (0.1) соответственно для размерностей , 1 ^ Tl ^ 9 и
1 ^ îl ^ 5 доказаны теоремы существования в целом классического решения задачи (0.1)—(0.3)-
А теперь отметим некоторые работы, непосредственно связанные с темой данной диссертации. Среди работ, посвященных исследованию линейного случая (т.е. случая F=F(t,0C)) задачи (0.1)— (0.3), следует особо отметить фундаментальную работу[i] В.А.Со-лонникова, в которой изучена общая краевая задача (удовлетворяющая условиям дополнительности) для линейных параболических (по Солонникову) систем, более общих, чем системы, параболические

(2.3) справедлива априорная оценка (1.88), из которой, в силу неравенств (1.49)-(1.56), вытекают следующие априорные оценки:
и» с«,?0
(2.7)
ЦЦ,ї)||р 4Ср Мп>6, 1«Р«ц£трР<+°°> (2.8)
Р.Йт
|идзо
ссйЛ
С п«3,
(2.9)
КМ1пп^ср '2-10)
Г) Цт
_ даяЦ
С(ит)
(2.II)
и^,а), цИо,ф
и ад имЦД)| «Ср
Н нт
Р,ЦТ
и*М и«ад
а(п+2) п п ’ит
Мп>17 (2.13)
и^и^аО,и^/15|^С VIIИ. (2.14,
Далее, пользуясь известными теоремами вложения (см.,напр.
3 6 *
[15], стр.95-96, лемму 3.3) V ІіС^^Є ( Цт) имеем:
и ® С«А< (2Л5)
<и>Й<А;ІВД
чт а!
2,0,