Весовые неравенства Корна и асимптотическое поведение тонких пластин

• Автор: Акимова, Елена Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 102 с. : ил.

0.1 Цель работы. История рассматриваемых вопросов
0.2 Формулировка результатов
1 Постановка задачи
1.1 Уравнения линейной теории упругости
1.2 Матричные обозначения
1.3 Локально периодическая пластина
2 Построение формальной асимптотики
2.1 Выбор асимптотических анзацев и вывод предельной задачи
2.2 Результирующая задача
3 Обоснование асимптотики
3.1 Асимптотическое приближение
3.2 Вычисление и оценивание невязок
3.3 Теорема об асимптотике
4 Весовое анизотропное неравенство Корна
4.1 Периодическая пластина и вспомогательные конструкции
4.2 Неравенство Корна па периодической пластине
4.3 Неравенство Корна для локально периодической пластины
4.4 Асимптотическая точность анизотропного неравенства Корна
для пластины
Список литературы

0.1 Цель работы. История рассматриваемых вопросов.
Настоящая работа посвящена построению и обоснованию асимптотики решения смешанной краевой задачи линейной теории упругости для тонкой локально периодической композитной пластины произвольной геометрии с произвольной анизотропией упругих свойств. С этой целью доказывается весовое анизотропное неравенство Корна на тонкой локально периодической пластине.
В главе 1 диссертации вводятся основные понятия теории упругости и матричные обозначения, упрощающие запись уравнения. Вводится локально периодическая пластина 12 д, толщина которой имеет порядок малого параметра /г > 0. Ставится задача о дефомации тонкой анизотропной пластины 12д с защемленной боковой поверхностью Гд.
Анизотропными называются пластинки, у которых сопротивление механическим воздействиям различно для разных направлений. Примерами таких пластин являются фанерные и кварцевые пластинки, а также гофрированные и армированные пластины и т.д.
Теории упругости анизотропных тел посвящены монографии С.Г. Лех-ницкого [118]-[120]. Вывод основных соотношений теории упругости и решения некоторых частных задач, в том числе о чистом изгибе пластинок, можно найти в книге С.П. Тимошенко и Дж. Гудьера [202]. Там же даны приближенные и экспериментальные методы решения задач теории упругости.
В книгах А.И. Лурье [126], [127] приведены основы нелинейной теории упругости и даны библиографические указания, полезные при изучении теории упругости.
В книге Г. Фикеры [208] изложены математические основы теории упругости.
Теории упругости анизотропных пластин посвящена книга С.Г. Лехницко-го [118]. В ней приведены решения плоской задачи для различных областей. В главах, посвященных теории изгиба анизотропных пластинок, рассмотрены изгибы разными видами нагрузок пластинок с опертыми сторонами, а также пластинки, усиленной паралельными ребрами жесткости, пластины, ослабленной круговым отверстием, и т.д. В книге даны основы теории устойчивости пластинок и разобраны различные задачи, посвященные данному вопросу.
При изучении задачи теории упругости часто используются матричные обозначения, введенные С.Г. Лехницким (см. [118]) и переработанные С.А. Назаровым в статьях ([153], [154] и др.). Наиболее подробное определение матричных обозначений и примеры их использования для исследования асимптотики решений задачи теории упругости различных тонких областей можно найти в книге С.А. Назарова [161].
В 1161] также приводится обширная библиография по теории пластин и стержней, освещается история их развития.
У истоков теории пластин и стержней стоят работы великих математиков. Изучением деформации стержней занимались Я. Бернулли (1695), Л. Эйлер (1744), Д. Бернулли (1751). Уравнение изгиба пластины было получено С. Жермен (1814), а Г. Кирхгоф (1851) и А. Сен-Венан (1855) окончательно сформулировали идею понижения размерности.
Изучением деформаций анизотропных пластинок, приводящих к искривлению срединной поверхности, занимается теория изгиба, которая берет начало в работах Геринга [248], Буссинеска [225] и Губера [251]-[253]. Изучению уравнений теории изгиба для анизотропных пластинок посвящены работы
С.Г. Лехницкого [121], [122]. Случай изотропных пластинок рассматривается в книгах Б.Г. Галеркипа [25] и С.П. Тимошенко [203]. В статьях М.М. Фридмана [209]-[213] были получены решения задач об изгибе различных изотропных пластинок, в частности для пластинок с отверстиями и с изотропными включениями из другого материала. В статье А.И. Лурье [128], посвященной изгибу произвольно нагруженной круглой пластинки, впервые было использовано комплексное представление прогиба, которое применялось во многих последующих работах (см. также [129]).
Многие формулы и уравнения теории изгиба для различных ортотроп-ных пластинок, усиленных ребрами жесткости, гофрированных, слоистых и т.п., были получены при изучении задач, возникающих в прикладных научных исследованиях для авиационной промышленности (см, например, статьи [180], [182] и книгу [101]).
Теории пластин и оболочек посвящены также монографии [2], [3], [32], [130], [165].
В книге Тимошенко и Войноровского-Кригера [201] основное внимание уделяется решению конкретных задач об упругих деформациях пластинок и оболочек. Авторы различают тонкие пластинки, подвергающиеся малым, в сравнении с толщиной пластинки, прогибам, и тонкие пластинки, подвергающиеся большим прогибам. Чтобы вычислить напряжение для любой точки пластинки первого типа необходимо решить дифференциальное уравнение в
3 Обоснование асимптотики
В этой главе приводятся рассуждения оправдывающие построенные в главе 2 асимптотические формулы. Выкладки, подтверждающие близость решения и задачи (1.14)-(1.16) и его асимптотического приближения, проводятся в предположении, что функция Т из правой части результирующей задачи принадлежит Соболевскому классу Н7 по медленным переменным у и классу Ьоо по быстрым переменным £. Так же как и в главе б [161] выполнение этого условия обеспечивается завышенными требованиями гладкости (3.1) для правых частей задачи (1.14)-(1.16).
Заметим, что в случае слоистых пластин [154] обоснование асимптотики проводится при предъявлении гораздо меньших требований к гладкости правых частей.
Такое сильное различие объясняется значительным усложнением процедуры оценивания интегралов по ячейке периодичности в случае осцилляции упругих свойств в продольных направлениях.
В центральной теореме 1 главы получены оценки остатков в общем асимптотическом представлении решения. В следствиях из теоремы 1 получены упрощенные асимптотические формулы трехмерных полей деформации, напряжений и смещений.
3.1 Асимптотическое приближение.
Предположим, что при некотором 7 £ (0,1/2] для членов разложений (2.1) выполнены включения
/° е Н1+1{ш —> с^(%))3),р° £ Н'Щи — С&£(ВД)3),
Л е Я»
а остатки удовлетворяют включениям
}еЬ2(Пк)~деЬ2(^)3. (3.2)
Положим

к7_1/2 = + л-1/2||рЛ5»;^2(2л)11)+

+Ь-1Ш?з; Т2(ЗД + /г-^Цр^з; ^СЗДН],
Х1+7 = \Д- Я7(щ)|| + |]{/°,5°};Я1+7(ш —, С^(ЗД)3 х С^(ЕЫ)3)||;