Исследование решений смешанных задач для квазилинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей смешанной производной

• Автор: Шабадиков, Конак Хусейнович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Фергана
• Количество страниц: 157 c. : ил

§ О.I.Вспомогательные понятия и утверждения

ГЛАВА I. СУЩЕСТВОВАНИЕ,ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ СЧЕТНОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § I.I.Вполне непрерывность линейного оператора действующего из пространства Lp^i^-i) в Si Ст) ...32 § 1.2.Непрерывность и ограниченность нелинейного onerot О

ратора УС? в пространстве Ь pi Т)

§ 1.3.Сведение решения задачи Г£ к решению счетной

системы нелинейных интегральных уравнений

§ 1.4.Существование" решения счетной системы нелинейных

интегральных уравнений

§ 1.5.Существование решения смешанной задачи для нелинейного уравнения

§ 1.6.Существование слабого решения смешанной задачи в

классе непрерывных функций

ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ОТ ПАРАМЕТРА § 2.1.Непрерывная зависимость и принадлежность решения
классу Гельдера
§ 2.2.Исследование принадлежности решения классу Липшица
§ 2.3.Дифференцируемость и асимптотическое представлен-;
ние решения по параметру
ЛИТЕРАТУРА
Многие процессы физики и механики, связанные с неравномерными переходами, описываются дифференциальными уравнениями с малыми параметрами. Многие практические задачи приводят к нелинейным уравнениям. Так при изучении поперечных колебаний стержней изучались [б7] различные задачи для уравнения:
ЪЫс + 1гух^т±_ _ уг Ъцги (В.1)
Релей в своей книге пишет "... мы предположим, что членами, зависящими от углового движения сечений стержня, можно пренебречь, что равносильно предположению, что инерция каждого сечения сосредоточена в его центре ..." ( [671 , стр.282). Он Еместо уравнения (В.1) подробно исследовал смешанную задачу для уравнения:
^ггс + рг уг ЭУ _ п .
Очевидно, если уравнение (В.1) написать в следующей форме
2^. + £2 У г __ у2. 2>Чс __ _ с (в п.
1?,Iх Ь ^ 1)эсЧ ^ ~ > СВ* }
то при £. = ± из (В.З) получается уравнение (В.1), а при £_=о уравнение (В.2).
Нетрудно заметить, что если внешняя сила зависит от смещения стержня, то изучение поперечного колебания стержня сводится к исследованию различных смешанных задач для уравнения:

~Ьги. . ргуг ^гс <- уг Эуг^ СГ(»
~=П* Л ~д^ Л * (ью^Л (В.4)
Релей [67] построил классическое решение смешанной задачи для уравнения (В.2) с помощью собственных функций спектральной задачи
УТх) =ХуС~) > (в.5)
>"с°; = "гг; = у"'(о) = У"сг; = с>. св.б)
Нетрудно видеть, что спектральная задача (В.5), (В.6) самосопряжена, положительно определена и имеет чисто точечный спектр. В рамках этой терминологии уравнение (В.4) можно записать
в виде
+ ; (В‘7)
где ЛЛ самосопряженный положительно определенный оператор с чисто точечным спектром, а оС^ такой оператор, что
есть ортонормированная система функций.
Отметим, что операторы Л и , имеющиеся в уравнении (В.7), совпадают с операторами, имеющимися в левой части (В.З),

(1.16)

(Т.к.)-{га ,х,?гал), ,

р_ г-
(“^>0* <3 £■'&,*-)) 1& Ме1ос. = ^ , т. = ±,ъ,
При X ^Х и Сг о^гс ) 2 ^д(Аг) применяя к последним трем слагаемым неравенство (0.2) имеем:
Цо.(Ч, 2.) 11 (-т^ ^ 11 £ (•£, +
И|П16ум , Г= (£,£ £,...),игде через || (.-(.,£•) || £*** бт) обозначены сумма первых 6 членов неравенства (1.16). Неравенство (1.17) показывает, что
О! (4 О «= Вр?(Т; , У£. 6 [о- а].
Поэтому можно полагать, что
(Е ;’Члт);^,р(^))РГ,
строится с помощью элементов вусг) . Следовательно, представляет интерес рассмотреть систему (1.10) в пространстве
Вр'-Чтн