Исследование интегрируемости 3-компонентных полей кирального типа в двумерном пространстве-времени

• Автор: Демской, Дмитрий Константинович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Орел
• Количество страниц: 107 с.

1 Симметрийная классификация
1.1 Общий случай
1.2 Приводимое пространство ¥3
1.2.1 Общие свойства высших симметрий
1.2.2 Конфигурационное пространство с метрикой ds2
du2 + 2 (vw + c)~1dvdw
1.2.3 Конфигурационное пространство с метрикой ds2
du2 + 2{у + w)~1dvdw
2 Гамильтонова форма
3 Представления нулевой кривизны
3.1 Представление нулевой кривизны для системы (1.23)
3.2 Представление нулевой кривизны для системы (1.31)
3.3 Представление нулевой кривизны для системы (1.26)
3.4 Представление нулевой кривизны для системы (1.29)
3.5 Представление нулевой кривизны для системы (1.33)
3.6 Представление нулевой кривизны для системы (1.35)
3.7 Представление нулевой кривизны для системы (1.37)
4 Дифференциальные подстановки для симметрий и интегрируемость по Дарбу гиперболических систем
4.1 Системы, интегрируемые по Дарбу
4.2 Построение полных наборов псевдоконстант для систем (4.2)-(4.5), (1.39), (1.40)
4.3 Дифференциальные подстановки для симметрий систем (1.22a)-(1.22g)
Заключение
Список литературы
Приложения
А. Симметрии пятого порядка для систем (1.39), (1.40)
Б. Программы для вычисления симметрий

Одним из важнейших событий в математике XX века является открытие нового фундаментального метода интегрирования дифференциальных уравнений - метода обратной задачи рассеяния [50]. С помощью этого метода удалось проинтегрировать ряд уравнений, играющих важную роль в описании нелинейных волн самой различной природы. К этим уравнениям относятся, в частности, уравнение Кортвега де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение вт-Оогёоп [15] и др. Как оказалось, эти уравнения обладают широкими классами точных решений, среди которых наиболее известны солитонные. Этот факт возродил интерес исследователей к методам точного интегрирования как таковым. Открытие метода обратной задачи рассеяния также стимулировало множество других, связанных с ним исследований. Одной из таких задач является задача классификации, которая состоит в том, чтобы перечислить уравнения из определенного класса, которые могут быть затем проинтегрированы этим методом.
Задача классификации является одной из задач, которым посвящена данная диссертация. Объектом исследования являются двумерные системы с лагранжианом
Здесь /, да0 = дра некоторые дифференцируемые функции, а — 1,... ,т, АеЬ(дар) -ф 0. На протяжении всей работы мы подразумеваем суммирование по повторяющимся индексам, кроме этого мы считаем все встречающиеся функции локально гладкими.
Из лагранжиана (В.1) следуют полевые уравнения
здесь Г“м - символы Кристоффеля, соответствующие метрике дар
(В.1)
1& + Г ?»« = /»,
(В.2)
(<*в ( & 9зи д 9вц _
ди» ди”

/“ = 5а/?/<з,/а = да/ = д//диа. Мы рассматриваем только такие конфигурационные пространства Ут, тензор Римана которых
= дрТ^ - + Г^ - Г“АГ*„
не равен нулю. Система (В.2) является частным случаем систем общего * вида
«£,!£?). (В.З)
Нелинейным уравнениям и системам вида (В.З) посвящено большое число работ, однако, классификация интегрируемых уравнений имеется только в ряде частных случаев. Например, для случая уравнений вида ихі = .Р(ц), в работах [13], [44] показано, что интегрируемыми надполем комплексных чисел являются только три уравнения
ихі = еи, ихі = е2и + е~и, их1 = віпи.
Это хорошо известные уравнения Лиувилля, Цицейки и уравнение єіп-^ Гордон, которые представляют два различных класса интегрируемых
уравнений: для уравнения Лиувилля известна формула общего реше-у ния, а уравнения Цицейки и эш-Гордон являются интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния. Обобщением уравнения Лиувилля для случая систем уравнений являются открытые цепочки Тоды [34], [18], [61], которые можно записать в виде
и1хі = А) ехр(гг'),
здесь А)—элементы матрицы Картана простой алгебры Ли. К классу к систем лиувиллевского типа относятся также системы типа уравнения
Риккати, рассмотренные в работе [4].
V Первая интегрируемая система вида (В.2) - система для полей со
значениями на была открыта в работе [60]. Системы вида (В.2) являются модельными в квантовой теории поля и в теории магнетиков. Поэтому они постоянно привлекают к себе интерес исследователей, и им

соотношениям:
^г+1 2 “Н ^ ^ Л» 2 4~ 9г 2 ^ ^ hjh{—jJГ^

9м = 3^_1Лг>1 + (>/2«* + Ухъиф)д1 - Пхд{ - ]Р ^&-5+ь (3*21)

_ ^2 Зх/2
П.1 — Их, 51 — о1)11)х 1Хх,
2 2ц)
где г
Выполняя все подстановки в (3.18), получаем ряды
оо оо
р = *; + £>*-*, 0 = ^<УГг,
г=0 *
определяющие канонические сохраняющиеся токи (р*, в г) системы (1.23):
_ л/2 .сух
Ро — „ их "Ь „ 'Ф-! Рг — г
2 Зг»
во = (2у/2щ + —— ухоЬ‘ф), 9х — IV Ьехр(—/2и), (3.22)
3 V
0;+1 = —г;-1 6ехр(—/2и)(с/ц + ^р»), г

Отметим, что при 5 = 0 плотности рг- становятся решениями характеристического уравнения £)*р^ = 0. Этот факт можно использовать для построения полного набора псевдоконстант (см.
глава 4).
Соотношения (3.21) и (3.22) легко кодируются в любой из символьных систем, поэтому нетрудно найти любое число сохраняющихся токов. Например,
Р1 = И2 = ^ (и1 + 2ьхиихф - у/2ихх),
Р2 = ^Ф{уххтх - ьхюхх + 2л/2 ихухюх) + ^ф2ьхи)х(ухги - ьюх)
- - /2ижх + 4■фУхЫх), в2 = Ьехр(-/2м) итх - .