Исследование квазилинейных задач в случае несамосопряженных главных частей

• Автор: Сатторов, Ахмад Хасанович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 109 c. : ил

ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВА ТИПА БАНАХА

§1.1. Некоторые определения

и обозначения

§1.2. Двойственность некоторых

пространств IV и В

§1.3. О компактности множеств в пространствах типа в

Глава II. ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ И ЕЕ СВЯЗЬ С СООТВЕТСТВУЩЕЙ БЕСКОНЕЧНОЙ СИСТЕМОЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ;

§2.1. Постановка краевой задачи и определение . ' различных решений

§2.2. Формальный переход к бесконечной

системе интегральных уравнений

§2.3. Обоснование перехода к бесконечной системе интегро-дифференциальных уравнений
§2.4. Некоторая корректировка постановки
задачи
Глава III. РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ
§3.1. Оценка ядра бесконечной системы интегральных уравнений в случае нестабильности оператора Л
§3.2. Оценка ядра бесконечной системы интегральных уравнений в случае стабильности оператора VI
§3,3. Исследование бесконечной системы интегральных уравнений методом последовательных приближений
§3.4. Применение принципа Шаудера к
исследованию бесконечной системы интегральных уравнений
§3.5. Теоремы существования и единственности различных решений
§3.6. Пример
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ В работе изучается разрешимость квазилинейной краевой задачи с несамосопряженной главной частью и вообще говоря, с нераспа-даюшимися краевыми условиями по
Дяя выполнения необходимых исследований сначала строятся некоторые пространства типа Банаха 'т/а(о, Т) , устанавливается их связь с пространствами Соболева-Слободецкого по отношению к разложению в ряд по специальным функциям. Доказывается теорема двойственности некоторых пространств В с пространствами Соболева - Слободецкого (теорема 1.2.1). Затем при помощи нескольких теорем рассматриваемая краевая задача сводится к бесконечной системе нелинейных интегро-дифференциальных уравнений.
Доказывается различные теоремы разрешимости этой бесконечной системы интегральных уравнений в построенных пространствах методом последовательных приближений и топологическим методом.
В работе доказываются существование и единственность различного типа решений поставленной квазилинейной задачи (обобщенного, почти всюду и классического), как в случае стабильности, так и в случае нестабильности, дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением по х главной линейной части уравнения и периодическими граничными условиями.
К настоящему времени методом Фурье подробно изучена смешанная задача для линейных гиперболических и параболических уравнений второго порядка. Из этих исследований необходимо отметить работы В.А.Ильина /19,20/ , Ю.Ф.Коробейника /24/ , 0.А.Ладыженской м и их учеников.
Для некоторых линейных уравнений высшего порядка по пространственной переменной методом Фурье смешанные задачи были исследованы
Н.й.Бриш и И.Н.Валешкевичем/6/. Начиная с 30-х годов методом

Фурье было начато изучение различных одномерных и многомерных смешанных задач .идя квазилинейных гиперболических и параболических уравнений. В этом направлении глубокие результаты получены Г.И.Чандировым [52, 52] , К.И.Худавердиевым £9, 49, 50, 51] ,
К.К.Гасановым [8, 10, II, 12] и их учениками. Следует отметить также работы В.К.Калантарова [25, 26]
К.К.Гасанов [II, 12] , К.И.Худавердиев /49, 51] , Я.Р.Бах-шалиев [3] , Р.А.Горчу-заде £13] , З.Н. Дкадилов [14] , также рассматривали квазилинейные смешанные задачи для некоторых уравнений гиперболического типа высокого порядка по X .Во всех цитированных исследованиях спектральные задачи, соответствующие главной части рассматриваемых смешанных задач, были самосопряженными.
Ими были даны определения слабо обобщенного, обобщенного, классического решения и решения почти всюду рассматриваемых квазилинейных смешанных задач, и доказаны различные теоремы существования и единственности таких решении.
Постановки корректных краевых задач для линейных уравнений, вообще говоря, неохватываемых типовыми классификациями, исследованы в работах А.А.Дезина и его учеников £15, 37] , в которых изучаются как правильная постановка краевых задач для линейных уравнений, а также и доказывается существование и единственность решений (вообще говоря слабых) правильно поставленных задач.
Между тем известно £32/ , что некоторые одномерные смешанные задачи можно решать методом Фурье-Биркгофа, если системы собственных функций полны. В связи с этим представляет большой интерес изучение краевых задач для квазилинейного дифференциального уравнения произвольного порядка как по X , так и по £ , вообще говоря неохватываемого типовыми классификациями, когда главная часть задачи несамосопряженная и граничные условия по t ,вооб-

в силу (2.3.4).
Наконец, из (2.3.13) также с учетом (2.3.4) получаем:
^ (/ 'Шо> „ с/т~'б/« (Г>)
П’~' /У/'*'' ^ тгг-* —

~(~о21 //'&«) и* Ю-? л <}к ст^
+[А(£«)и«С*) г (?)<&}
? (2.3.16)
Формулы (2.314),(2.3.1),(2.3.15),(2.3.16) показывают,что является решением краевой задачи (2.2.2),(2.2.3) откуда следует, что она является и решением системы интегральных уравнений (2.2.6)
или (2.2.7). Доказательство теоремы завершено.
Следствие 2.3.1. Пусть ($,> зг>-обобщенное решение
задачи (2.1.1)-(2.1.3) и е ) • Тогда коэфк
фициенты Фурье 1/«и) функции иШ) по системе {еур(г ^ функщш
абсолютно непрерывны вместе с производными до 777—% -го порядка включительно и удовлетворяют системе интегральных уравнений (2.2.7).
Теорема 2.3.2. Пусть дая некоторых (ив,*?,
е277 777-52 И /('V, V, ■ • ■ ) £ 7/^'С)С-&ГР ) ПРИ
и(Х,£) в А/г(е*'ег)• Если }Ц*&)} является решением системы интегральных уравнений (2.2.7) из пространства
(4=яч4.."$ ТО функция
1/(у,+) определяемая формулой