Аналоги теоремы Ковалевской для уравнений с особенностью и их приложения в газовой динамике

• Автор: Курмаева, Кристина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 122 с.

1 РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
1.1 Аналог теоремы Ковалевской в задаче построения ближнего поля нестационарного трансзвукового

течения около тонкого тела вращения

26 27 29 29

37 40 42

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Построение логарифмического ряда

1.1.3 Вычисление коэффициентов ряда

1.1.4 Сходимость логарифмического ряда

1.2 Обобщение аналитических решений Овсянникова

1.2.1 Постановка задачи
1.2.2 Построение логарифмического ряда
1.2.3 Структура коэффициентов
1.2.4 Сходимость логарифмического ряда . . ,
1.2.5 Физический смысл
1.3 Решение характеристической задачи Коши для осесимметричного уравнения потенциала сданными на оси симметрии

1.4 Задача Коши для уравнения, описывающего течение продуктов детонации с данными на оси симметрии
1.5 Постановка задачи аналитического построения нестационарного осесимметрического течения газа при отражении слабого разрыва от оси симметрии
РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ОВСЯННИКОВА О ПРЯМОЙ ЗВУКОВОЙ ЛИНИИ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХТЕЧЕ-НИЯХ
2.1 Особенности прямой звуковой линии для уравнения Овсянникова-Похожаева в осесимметричном потоке
2.2 Решение осесимметрической задачи о прямой звуковой линии в трансзвуковом приближении
2.2.1 Исследование свойств звуковой линии
2.2.2 Наличие особенностей на звуковой линии
2.3 Уравнение полного потенциала скоростей в осесимметрической задаче о прямой звуковой линии
2.3.1 Исследование свойств звуковой линии
2.3.2 Наличие особенностей на звуковой линии
2.4 Прямая звуковая линия без особенностей
Заключение
Литература

Диссертация посвящена доказательству аналогов теоремы Ковалевской и построению аналитических решении нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, не относящихся к классу уравнений типа Ковалевской. Таковы уравнения с особенностью типа осевой или сферической симметрии. Рассмотрены уравнения, описывающие осесимметричные течения идеального газа, и исследованы особенности их решений. Построенные решения использованы, в том числе, при исследовании свойств звуковой линии в трансзвуковых течениях в случае осевой симметрии.
Актуальность темы.
При построении решений начально-краевых задач с особенностью, в том числе характеристических задач Коши, возникают сложности, связанные с тем, что рассматриваемые уравнения являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных с особенностью. Здесь особенности понимаются как обусловленные физической моделью точки неаналитичности коэффициентов решаемых уравнений. Данное обстоятельство приводит к невозможности применения теоремы Коши, обосновывающей построение аналитического решения для обыкновенных дифференциальных уравнении с аналитической правой частью в виде степенных рядов, а также теоремы С.В. Ковалевской [30,104], обобщающей теорему Коши на случай дифференциальных уравнений с частными производными, в которых возможно выделение в явном виде старшей производной. В связи с вышеизложенным, для построения аналитических решений рассматриваемых нелинейных дифференциальных уравнений был применен аналитический метод построения решений в виде специальных рядов. Становление и развитие данного метода связано с именем академика А.Ф. Сидорова. Впервые метод специальных рядов упоминается в его работе [71 j, опубликованной в 1975 году. Основными чертами рассматриваемою метода [88] являются:
1. построение решения в виде ряда по степеням базисных функций, обеспечивающих рекуррентное вычисление коэффициентов ряда путем последовательного решения линейных задач, что приводит к конструктивному определению формального ряда;
2. нулевой (главный) член ряда определяется из точного решения или из нелинейной задачи;
3. первые члены ряда дают достаточно точное приближение и хорошо описывают особенности решений;

выяснению конфигурации течений с обоснованием вопросов существования ' и исследованию возможности реализации расчетных режимов работы. Одной из таких задач является обратная задача теории сопла, которая заключается в том, что на оси сопла задается скорость газа, а затем определяются течение газа и форма сопла.
Рассмотрим решение обратной задачи теории сопла для уравнения потенциала скорости Ф стационарного движения идеальною юза (1.34)
Рассматриваемое уравнение (1.34) не является уравнением типа Ковалевской из-за наличия в нем особенности 1/г. Поэтому, например, при сносе граничных условий обтекания на ось симметрии, на ней возникает логарифмическая особенность г —► +0, что создает трудности в применении аналогов теоремы Ковалевской. В связи с этим, естественным образом возникает задача о поиске решений без привлечения ло1 арифмов. В данном разделе осуществляется решение по дробным и целым степеням расстояния до оси симметрии. Проведя анализ структуры коэффициентов ряда (1.37), получим, что
<Р2п+1 - 0,
(1.71)

(р(г,р,г) = X] К,к(г)е Ы1>1 Для четных п, (1.72)
п=0 £

причем при п = 0:
(ро{р, г) = а(г)е5р + (5{г) = а(г)г5 + (3(г),
(1.73)
откуда видно, что
А0,_1(г) = а(г); А0)0(г) = 0{г). Уравнение (1.72) в силу (1.36) примет вид:
(1.74)
(1.75)