Исследование устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий полулинейных уравнений соболевского типа

• Автор: Китаева, Ольга Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Магнитогорск
• Количество страниц: 111 с.

Обозначения и соглашения Введение

1 ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ДИХОТОМИИ

1.1 Относительные резольвенты

1.2 Относительно спектральные проекторы

1.3 Относительный спектр и аналитические группы операторов

1.4 Относительно сг-ограниченные операторы

1.5 Фазовые пространства

1.6 Инвариантные пространства и экспоненциальные дихотомии

2 ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ

2.1 Банаховы многообразия и

векторные поля

2.2 Квазистационарные траектории
2.3 Теорема Адамара-Перрона
2.4 Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия
3 ПРИЛОЖЕНИЯ
• 3.1 Функциональные пространства и
дифференциальные операторы
® 3.2 Уравнение Осколкова нелинейной фильтрации
3.2.1 Постановка задачи
3.2.2 Инвариантные многообразия
3.3 Уравнение Осколкова
3.3.1 Постановка задачи
3.3.2 Инвариантные многообразия
3.4 Уравнение Бенжамина-Бона-Махони
0 3.4.1 Постановка задачи
3.4.2 Инвариантные многообразия
3.5 Уравнение Хоффа
3.5.1 Постановка задачи
3.5.2 Инвариантные многообразия
Список литературы

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ
1. Множества, как правило, обозначаются заглавными буквами готического алфавита. Исключения составляют множества с уже устоявшимися обозначениями, например,
N - множество натуральных чисел,
М - множество действительных чисел,
К+ = {а G К : а > 0},
С - множество комплексных чисел.
2. Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского и греческого алфавитов. Отображения множеств называются операторами и обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, например,
L : Я —> $ - линейный оператор, действующий из векторного пространства Я в векторное пространство
£(Я; J) - множество линейных непрерывных операторов, определенных на пространстве Я и действующих в пространство щ С1 (Я; #) - множество линейных замкнутых операторов, определенных в пространстве Я и действующих в пространство
Если пространство Я = J , то мы пишем £(Я) вместо £(Я; 39 и С/(Я) вместо (Л(Я;Я).
ker£ - ядро, imL - образ, dom L - область определения линейного оператора L.
Символами I и О обозначаются сответственно "тождественный"
Экспоненциально дихотомичное поведение решений заключается в следующем: фазовое пространство уравнения (1.6.2) распадается на прямую сумму инвариантных пространств, причем решения, начинающиеся в Я12, экспоненциально убывают (оставаясь в И12), а решения, начинающиеся в И11, экспоненциально растут (оставаясь в Я11). Другими словами, решения из Я12 экспоненциально убывают при Ь —> +оо, а решения из Я11 экспоненциально убывают при Ь -4 —оо. Это обстоятельство позволяет инвариантное пространство Я12 (Я11) уравнения (1.6.2) назвать устойчивым (неустойчивым).
Теорема 1.6.2. Пусть выполнено условие (1.4-2), оператор М (Ь,р)-ограничен, р € {0} и N и сть(М)Р){Ж} = 0. Тогда решения и = и(Д) уравнения (1.6.2) имеют экспоненциальную дихотомию.
Доказательство. Из условия теоремы следует выполнение условий теоремы 1.6.1, поэтому воспользуемся представлением (1.6.3). Пусть контур 7цг) лежит в левой (правой) полуплоскости комплексной прлоскости С и ограничивает облсть, содержащую ту часть Т-спектра оператора М, которая лежит в данной полуплоскости. Тогда справедливо разложение (1.6.3). Поэтому если иДй) е Я11 и в > £, то