Исследование нелинейных анормальных задач и динамических управляемых систем

• Автор: Жуковская, Зухра Тагировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 109 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Теоретический аппарат

1.1 Теорема о неявной функции

1.2 Накрывание линейных операторов

на выпуклых конусах

2 Локальная разрешимость управляемых систем

2.1 Достаточные условия локальной разрешимости управляемых систем дифференциальных уравнений

при наличии смешанных ограничений

2.2 Достаточные условия локальной

разрешимости для дифференциальных включений со смешанными
ограничениями
3 Оптимальное управление
3.1 Постановки задач оптимального
Йправления в дискретном и непрерывном времени
[еобходимые условия второго порядка для дискретной задачи оптимального управления
3.3 Необходимые условия второго порядка для задачи оптимального управления с непрерывным временем
3.4 Свойства функции минимума в задаче оптимального управления
Заключение
Список обозначений
Литература

Введение
Диссертация посвящена исследованию различных классов задач оптимального управления и управляемых систем. Средствами теории накрывающих отображений, теорем о неявной функции в анормальной точке, а также на основе метода конечномерных аппроксимаций исследованы следующие задачи.
• Дискретная задача оптимального управления
min,
x(t + l) = f(t,x(t),u(t)), t e [0, iV],

ж(0) = x0,
u(t) € U(t), t 6 [0, N).
Здесь N - заданное натуральное число или нуль, t 6 [0, N + 1] := {0,1,N, N + 1} - дискретное время, x(t) £ К" - фазовая переменная, u(t) € - управление, / : [0, N] х Rn х Rm —* Ru и <р : R” —> R - за-
данные функции, U : [0, N] Rm - заданное многозначное отображение. Здесь и далее под многозначным отображением будем понимать отображение, которое каждой точке области определения ставит в соответствие непустое замкнутое множество.
• Задача оптимального управления с непрерывным временем
min,
х = f(t, х, и) Vi € [Ф,Ф],

x(t0) = Хо,
u(t)eU(t) V*€[t0,*i]-
Здесь to,ti € R - заданные числа, t 6 [Ф,Ф] _ время, х Е R” - фазовая переменная, и G Rm - управление, ip : R” —>■ R, / : [ф, Ф] xlnx Rw —> R” -заданные функции, U : [ф, t\ R"1 - заданное многозначное отображение.

• Задача оптимального управления с линейной дифференциальной связью, квадратичным функционалом и квадратичными концевыми ограничениями
qo{x{l)) min, х — A{t)x + B(t)u, t Є [0,1], ж(0) = О,
Q(a;(l)) = у.
Здесь t Є [0,1] - время, х Є Rn - фазовая переменная, и Є Mm - управляющий параметр, qo : R" —>■ К - заданная квадратичная форма, Q : Rn —> Rfc
- заданное квадратичное отбражение, A{t) и B(t) - непрерывные матрицы-функции соответствующих размерностей, у - заданный вектор из Ш.к.
• Управляемая система дифференциальных уравнений со смешанными ограничениями и геометрическим ограничением на управление
x(t) = f(t,x,u) Vi, x(t0) = x0,

g(t,x,u) = 0 Vi, u{t) GU Vi.
Здесь і Є 1- время; іо Є R - заданный начальный момент времени; xq Є R”
- заданная начальная точка; х € R” - фазовая переменная; и Є Rm -управляющий параметр; / : R х R" х Rm —> R" и д : R х R” х ROT -» Rfc
- заданные функции, причем функция д непрерывна; U С Мто - заданное замкнутое выпуклое множество.
• Управляемая система дифференциальных включений со смешанными ограничениями, геометрическим ограничением на управление и дифференци-

не является следствием системы
(bj,x) < 0, jeh, j^i, (bk,x) = О, /с Є Д,
и, кроме того,
3h Є кетА, 3jeh: (h, bj) > О, (h,bk) = О, к Є Д. (1-H)
Тогда
соу(А|с(/іЛ)) = шіп{соу(Л|с(/Д{Лі/2и{Л))}.

Замечание. Как известно, неравенство (Д, ж) < 0 является следствием системы неравенств (bj,x) < 0, j ф г, тогда и только тогда, когда существуют неотрицательные числа r/j, j ф і, такие, что Д — rljbj- Это утвержде-
ние представляет собой частный случай теоремы Фаркаша (см., например, [31], с.168, теор.7). С помощью указанного критерия можно реализовать второй шаг алгоритма.
Для того, чтобы проверить условие (1.10), можно воспользоваться следующим критерием: условие (1.10) выполняется тогда и только тогда, когда для любого номера j Є 1, s существует вектор r]j є такой, что А*гц — bj. Очевидно, условие (1.11) имеет место тогда и только тогда, когда условие (1.10) нарушено.
Обозначим множества X и J, полученные после выполнения третьего шага алгоритма на г-ом прохождении итерации цикла, через Xі и Jx соответственно. Докажем по индукции, что
cov(^Ik) = min{cov(A|c(/b/2)) : (Д, Д) € Xі U J1} Vi (1.12)
Очевидно, что Xі U J1 = {({1,..., s}, 0)} и С({1,..., s}, 0) = К. Следовательно, для г = 1 равенство (1.12) выполнено. Предположим, что (1.12) верно для г = т. Покажем теперь, что формула (1.12) выполняется и для г = т + 1. Обозначим через Хт множество всех элементов (Д, h) Є Х”г, для которых выполняется условие (1.7). Последовательно применяя определение конуса С(Д, Д),