Исследование и вычисление гарантированного результата в задачах позиционного управления

• Автор: Тарасьев, Александр Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Свердловск
• Количество страниц: 125 c. : ил

§ I. Предварительные сведения из теории позиционных

дифференциальных игр

§ 2. Сопряженные производные

§ 3. Функция-унификатор

§ 4. Оператор стабильного поглощения

§ 5. Построение стабильных мостов

§ 6. Пример

§ 7. О двух формализациях позиционных стратегий

Литература

В диссертации рассматриваются задачи управления, в которых требуется построить позиционную стратегию (управление по принципу обратной связи), гарантирующую определенное качество управляемого процесса при любой неизвестной заранее помехе. Задачи та -кого типа исследуются в рамках теории дифференциальных игр. Создание этой теории было обусловлено запросами практики. Быстрому ее развитию способствовали достижения математической теории оп -тимального управления. Современный облик теории дифференциальных игр в значительной мере определяется основополагающими работами советских математиков Н.Н.Красовского и Л.С.Понгрягина. Среди широкого круга зарубежных исследований следует выделить работы Р,Айзекса и У.Флеминга, которые были среди первых в этой облас -ти.
В последнее время в теории дифференциальных игр значитель -ное внимание уделяется исследованиям, направленным на развитие вычислительных методов. Конечной целью этих исследований должна быть разработка вычислительных программ для решения на ЭВМ раз -личных задач, относящихся к теории дифференциальных игр. В частности, важной проблемой является задача построения стабильных мостов, т.е. таких множеств в пространстве позиций, из которых разрешима задача гарантированного управления.
Существующие в настоящее время алгоритмы для решения этой проблемы базируются та так называемой попятной конструкции (конструкции альтернированного интеграла). Эта конструкция изучалась во мтгих работах (см., например, [20,36,40,58,603), где она использовалась, в основном, для теоретических построений. Доведение этой конструкции до практически реализуемых алгоритмов потребовало дополнительных исследований. Существующие в настоящее время программы позволяют строить стабильные мосты для управляемых сис-

тем второго и третьего порядка (см., например, [7,8,28,31,35,48, 503). Ограничения на размерность системы вызваны большим объемом вычислений и памяти, необходимых при реализации попятной конструкции.
Важную роль в решении задач управления играют также исследования, подготавливающие базу для новых вычислительных методов.
Как известно, функция цены и границы стабильных мостов лишь в редких случаях обладают гладкостью. Одшко, как правило, они являются кусочно-гладкими. Поэтому представляет интерес изучение свойств кусочно-гладких границ стабильных мостов и функций цены* Такое исследование может подсказать новые направления для разработки экономичных вычислительных методов, использующих современный ап -парат теории приближения функций, в частности, сплайнов.
В настоящей диссертации представлены как исследования общих свойств функции цены, которые могут оказаться полезными при соз -дании базы для новых вычислительных алгоритмов, так и исследова -ния, дающие непосредственный выход на разработку численных мето -дов.
Материал диссертации разбит на семь параграфов. Леммы и теоремы в параграфах нумеруются двумя цифрами, первая из которых указывает номер параграфа, вторая - номер утверждения. Аналогия -ная нумерация принята и для формул.
Первый параграф носит вводный характер. Здесь изложены необходимые сведения из теории дифференциальных игр.
Во втором параграфе введены понятия верхних и нижних сопря -женных производных локально-липшицевых функций. Они определяются как результат известной в выпуклом анализе операции сопряжения, выполняемой над нижними или верхними производными исходной функции. Изучены некоторые свойства сопряженных производных. Для опи-

логично изложенному можно показать, что СО^ СО удовлетворяет
неравенству (2.7) в точках своего "простого" сингулярного множе
ства % 1 . Здесь = I] 1л-ъ (I = 1,2., Ъ
и =1С-Ь,^еТ*Яг : ^ = *?*(*»,О ,
Си] 4 К. ; .
Тем не менее, как уже отмечалось, это условие не выполняется в точках "сложного" сингулярного множества £ог функции с^(.)
при ^ е Г - £, О ) . Здесь
ф Г у
~ еТ"* Я : С'Ь,,х') - .
Таким образом, требование допустимости функции со СО в предложении 3.1 является существенным.
3.5. Теоремы 2.1 и 2.2 можно использовать при изучении раз -личных конструкций, предлагаемых для вычисления функции цены (см.

[15,20,23,24] ). Покажем, как с помощью этих теорем выводится условие регулярности программного (детерминированного) макс шина.
Отметим, что сформулированное ниже условие регулярности было подучено Н.Н.Красовским и изложено игл на семинаре по теории управления в Институте математики и механики УЩ АН СССР.
Здесь приведено другое доказательство этого условия.
Пусть динамика управляемой системы описывается линейным дифференциальным уравнением, а функционал платы задан соотношением (1.4).
Не ограничивая общности рассуждений (см., шпример, С20]), можно считать, что дифференциальное уравнение имеет вид
В (-1)01 +СС1) ОТ . (3.9)
Здесь ЬТ , схей" , -иеРеЯ*“ , ,