Частичная и условная устойчивость линейных функционально-дифференциальных уравнений

• Автор: Чудинов, Кирилл Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 98 с.

Обозначения

Глава I Об инвариантных подпространствах

§ 1.1 Многочлен <5Р(А)

§ 1.2 Обобщение теоремы о жордановой форме матрицы

§ 1.3 Теорема о характеристическом многочлене

§ 1.4 Максимальные и минимальные инвариантные подпространства

Глава II Частичная и условная устойчивость

§ 2.1 Устойчивость линейного уравнения как свойство матрицы

Коши

§ 2.2 Устойчивость как геометрическое свойство

§ 2.3 Сведение задач а- и /3-устойчивости к задаче классической

устойчивости
§ 2.4 Уравнение с постоянным запаздыванием аргумента
§ 2.5 Устойчивость относительно правой части
Глава III Некоторые обобщения
§ 3.1 Уравнения с периодической матрицей

§ 3.2 Разностные уравнения
§ 3.3 Сопоставление с известными результатами
Литература

Обозначения
Элементами линейного пространства Сп считаются комплекснозначные пх 1-матрицы, называемые ниже п-мерными столбцами; символ Стхп обозначает пространство комплекснозначных гпхп-матрнц.
Разложение вектора гг-мерпого комплексного линейного пространства но базису определяет элемент пространства Сп — координатный столбец вектора в данном базисе. Если заданы базисы X = {хг}"=1 и У = {уг} і пространств соответственно X и У, то матрица II Є Стхп ставит в соответствие каждому координатному столбцу х Є Си вектора х Є X координатный! столбец 11х Є Ст вектора у Є У, определяя тем самым линейное отображение и : X —> У. В таком случае будем говорить, что II является матрицей отображения и (или что V определяет II) о паре базисов X, У. Пространство линейных отображений X в X, которые будем называть также преобразованиями пространства X, обозначается через [X]. Матрица отображения и Є [X] также задаётся в некоторой! паре базисов, вообще говоря, не совпадающих. Нормы элементов х Є X и и Є [X] обозначаются соответственно через |х| и |и|. Если они встречаются в одном выражения, то предполагаются согласованными.
Если оператор и определяется в некоторой паре базисов матрицей и, то символы иТ и ит обозначают соответственно транспонированную матрицу и оператор, определяемый ею в той же паре базисов.
Символы I и I обозначают соответственно единичную матрицу (раз-

Если х : —> Сп — решение однородного уравнения со сдвинутой начальной точкой
х — Ар3х = 0,
то у = у(£) = Ах(Д) — тоже решение этого уравнения. Согласно (2.3), при любом £ ^ в, с одной стороны, у(£) — Ах(Ь) = АС(Ь, в)х(з), с другой, у(£) = С(£, з)у(з) = С(£, 5)Лж(з), откуда, в силу произвольности я £ Ко и х(в), следует С(£, в)Л = АС(Ь, в). □
Соотношение между частичной и условной! устойчивостью уравнения (2.7) имеет особенно простое выражение.
Лемма 2.2. Если С(£, 5) есть матрица Коши уравнения (2.7), то матрицей Коши уравнения
У ~ АТРУ = 9 (2-8)
является Сг(£,б).
Доказательство. Рассмотрим С — С(£, в) и СТ = С'т(£, в) как
функции от £ при фиксированном й. Согласно определению матрицы Коши имеем Щ = Ар3С. Используя лемму 2.1, получаем ¥ = (ж )Т = (г>,С)тАт = р,(СТАТ) = р,(Л*(Г) = □
Прямым следствием доказанного утверждения и теоремы 2.1 является
Теорема 2.2. Уравнение (2.7) а-устойчиво относительно подпространства Б тогда и только тогда, когда уравнение (2.8) (З-устойчиво относительно подпространства Б±,.