Двухточечная краевая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом

• Автор: Теняев, Виктор Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Рязань
• Количество страниц: 100 с. : ил

Оглавление
Введение
Г лава I. Свойства решений системы дифференциальных
уравнений с запаздыванием
§ 1.1. Постановка задачи
§ 1.2. Непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметра
§ 1.3. Исследование свойств решений: оценка и структура 22 Г лава II. Двухточечная краевая задача системы дифференциальных уравнений с запаздыванием
§ 2.1. Решение двухточечной краевой задачи нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием по линейной
части
§ 2.2. Исследование системы (1.2) в случае, когда решение
двухточечной задача зависит от нелинейной части
§ 2.3. Исследование системы (1.3) в случае, когда решение
двухточечной задача зависит от нелинейной части
Г лава III. Математические модели
§ 3.1. Исследование системы (1.3) при /(?, Х) = 0 в критическом случае
§ 3.2. Модель в экономике
§ 3.3. Моделирование в иммунологии
Приложение
Заключение
Литература

Введение
Актуальность темы. В настоящей работе изучается система дифференциальных уравнений с запаздыванием. Правая часть системы нелинейна и непрерывна по фазовым переменным. Матрица соответствующей линейной однородной системы непрерывна. Изучаемая нелинейная система имеет тривиальное решение. Задача исследования: поиск условий существования малых ненулевых решений двухточечной задачи системы дифференциальных уравнений с запаздыванием в окрестности нулевого решения.
В период становления классической механики господствовало мнение, что скорость изменения (движения) реальных систем в настоящий момент зависит только от их состояния (положения) в этот же момент времени. Стало быть, для описания таких систем с целью предсказания их поведения в будущем вполне пригодны обыкновенные дифференциальные уравнения
Более детальное изучение окружающего нас мира привело исследователей к необходимости учитывать во многих случаях то, что состояние физических систем в данный момент времени существенно зависит от их состояний в прошлом.
В 70-х годах XIX в. Больцман предложил теорию упругого последействия, в основе которой находилось соотношение
где ф - деформация; Т - напряжение деформируемого тела; к -
х'(г)= 40),
х = (х1, х2,..., х„), р = (^, С,..., с).

функция релаксации. Эта теория получила дальнейшее развитие в работах Вольтерра.
Понятие последействия в механике Вольтерра переносит в область биологии [14], и далее возводит явление последействия в общий принцип естествознания (принцип остаточного действия) и развивает теорию интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, учитывающих остаточные, наследственные эффекты в поведении динамических систем.
По свидетельству академика Ю.Н. Работнова [54], теория линейной наследственности Вольтерра нашла приложения в ряде разделов механики и математической физики (механика деформируемого твердого тела, теория поведения полимерных материалов при умеренных напряжениях, описание внутреннего трения в металлах, когда амплитуды напряжений очень малы).
Другим классом математических моделей явлений и процессов с последействием являются дифференциально-функциональные уравнения. Такие уравнения содержат операции дифференцирования и сдвига аргумента, поэтому пригодны для описания движения систем, скорость которых в данный момент зависит не только от состояния в данный момент, но и от прошлых состояний. В простейшем случае систем с запаздыванием вместо обыкновенных дифференциальных уравнений следует рассматривать уравнения
х'(г)=тф, х(Д, х(т (*))],
где т(Д = /-Д(Д, д(г)>0.
В плане классификации дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом различаются случаи сосредоточенного
*(*)= -т,(0)+/(0>к ^

Пример.
Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение с запаздыванием
х = ах + Я,х + Я2х(/уГ) + Л3 + Л4х2 - х2 (/у Д, (1-4)
где 0 < /л < 1, Л = (Л1, Л2, Л3, Л4).
Для уравнения (1.4) найдём вид его решений. Заметим, что Х^, л1) = еа{,-'], тогда, согласно теоремы 1.6, будем иметь равенства
1^% /у, Л)=рф, 0)+ФД^. О)^=|я,е“'Л+|Л2еа(Н1“/')5)Л=Я1 Уе“' +Я,—-г-,
о оо Ц1—///
Д4(/, Я) = | х(у,,у)Я3у& = Я31 еа(‘ ,5Ду =
43(еа'-і)

/(2,(?, /у, аг, я) = |Х(у, Д/(2)(.у> х(у, о)а, ДДф, о)а, Я)& =
= }е“('-4[я4е2а4а2 -е2а/,5а2]й?5 =а2еа'|[я4е‘'* -Д2^]* =

?а(2/у-1> _ і
2/у -
Таким образом, решение уравнения (1.4) имеет вид
Ф“ " О
х(у, /у, а, Я) = е“' +Я1?е“' +Я
ї(і-/у)
Я4(ев'-і)-

2/у —

й)+°(м).