Исследование задач динамической реконструкции с помощью метода управляемых по принципу обратной связи моделей

• Автор: Кадиев, Алексей Махаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 119 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Основные обозначения
ГЛАВА 1. АЛГОРИТМЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ ДЛЯ СИСТЕМ,С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
1. Постановка задачи. Метод решения
2. Динамический метод невязки
3. Об одном варианте метода сглаживающего функционала для нелинейной системы с запаздыванием
4. Реконструкция входов в линейных системах
5. Результаты вычислительных экспериментов
ГЛАВА 2. АЛГОРИТМЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ ДЛЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
1. Алгоритм динамической реконструкции входов для параболического
вариационного неравенства
2. Алгоритм динамической реконструкции входов для уравнений фазового поля
3. Результаты вычислительных экспериментов
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время во многих теоретических и прикладных исследованиях различных явлений и процессов возникают задачи, связанные с восстановлением неизвестных характеристик динамических систем. Такие задачи относятся к классу обратных задач динамики управляемых систем и состоят в нахождении неизвестного входа системы по результатам измерений ее выхода. Предполагается, что уравнение, задающее динамику системы, известно, — им может быть обыкновенное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение в частных производных, функционально-дифференциальное уравнение и т. д. Входом служат величины, однозначно определяющие движение системы, ими могут быть управление (как функция времени), подаваемое на систему, и начальное состояние. Выходом может быть любая доступная информация об управляемом процессе, например, сигнал о текущей траектории системы, что соответствует практическим ситуациям. Интерес к разработке и развитию теории, методов и алгоритмов динамического восстановления входных сигналов в динамических системах устойчиво растет, и расширяется область их практического использования.
Первые публикации по данной тематике появились в середине 60-х годов. В работах Р. Брокетта, М. Месаровича [83], JI. Силвермана [111] и других авторов [92], [110], [112] для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, при условии достаточной гладкости входов, были получены критерии однозначной разрешимости обратных задач. В литературе, вышедшей в 90-е годы, вопросам восстановления входных воздействий посвящены монографии [107], [61], [91], [47]. Если выход системы измеряется неточно, то обратные задачи динамики переходят в класс некорректных, и построение их приближенных решений сводится к отысканию соответствующих регуляризирующих операторов. Существенный вклад в развитие теории

некорректных задач внесли А. Н. Тихонов, В. К. Иванов, А. Б. Куржанский, М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, Ф. А. Черноусько, В. В. Васин, В. И. Агош-ков, Ф. П. Васильев, В. Я. Арсенин и др. [1]—[4], [6], [8], [11], [16]—[19], [28], [36]—[39], [51]—[53], [65], [70], [72]-[76], [96].
Алгоритмы регуляризации в указанных работах обрабатывают всю историю изменения входа, т. е. имеют апостериорный характер. Вопрос о построении позиционных (вольтерровых, динамических) алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем был поставлен в работах Ю. С. Осипова и А. В. Кряжимского [57], [31]. Там же приведен метод устойчивого восстановления минимального по норме управления в случае неточного измерения в «реальном времени» состояния аффинной по управлению системы. В [107] дана общая теория динамического обращения для обыкновенных дифференциальных уравнений. В основе алгоритмов лежит сочетание некоторых принципов теории позиционного управления с моделью, развитого Н. Н. Красовским и его школой [25]—[27] и методов теории некорректных задач [74], [8], [18]. Процесс динамического восстановления входа трактуется как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой системой (моделью), часть характеристик которой, меняясь во времени, «отслеживает» неизвестный вход. С расчетом на возможность практической реализации алгоритм реконструкции строится в классе конечношаговых алгоритмов, т. е. учитывает поступающую информацию в конечном числе временных узлов, обрабатывая ее между узлами. Указанный подход успешно применялся к решению задач реконструкции для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [12], [32], [42], [58]—[60], [94], [95], для систем с запаздыванием [29], [104], [44], [45], [47], [93], [101] и для систем с распределенными параметрами [20], [21], [30], [43], [47], [61], [69], [98], [99], [103], [105], [106], [108]. Абстрактная постановка задачи динамической регу-

(1.49)
Доказательство. В силу условия теоремы 1.2, не нарушая общности, считаем /і, є = є(/і), 5 — 5{К) Є (0,1). Учитывая неравенство
5є~1 < 1, (1.48)
из оценки (1.46) выводим
|-шн(£) — ж(*)| < с(е + 63/4 + /і2) < с(є3/4 + Л,2).
Из (1.48) и из (1.35) получаем
Іг,Л(’)Іії(5,;к) < (1 + )Ім*(')Іі2(гі_1ік) +
+ (1 + Л-1)с1(/г, + )2£-2(£3/4 + Л2) + с2(є3/4 + /г2) <
< (1 + )І'и*(0Іі2(5і_і;кАГ) + (1 + А-1)сз(<5е)_2(е3/4 + Н2) +
+ С4<5(е3/4 + /і2).
Суммируя по г правую и левую части неравенства (1.49), будем иметь
Іг,Л(')І|2(Г;К) — (* + )Іи*(‘)І£2(Т;К) +
+ (1 + А_1)сз5є_2(є3//4 + Л.2) + С4(є3,/4 + К2).
Снова воспользуемся условием (1.23). Будем иметь
6є~2(є3/4 + Л2) < се1/4. (1-51)
Положив А = г1/8, из (1.50), (1.51) получим (147). Следствие доказано.

(1.50)