Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений в исследовании передаточных линий

• Автор: Сборец, Юлия Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 92 с.

1 Введение

2 Формулировка основных результатов работы

3 Сведения из теории мер некомпактности и теории топологического

индекса

4 Доказательство основных результатов

5 Примеры

5.1 Пример 1 (Случай, описываемый схемой 1.1. Доказательство теорем

2.4, 2.5 для этого случая)

5.2 Пример 2 (Случай, описываемый схемой 1.2. Доказательство теорем

2.4, 2.5 для этого случая)

6 Список литературы.

1 Введение.
Актуальность темы. Математические модели распространения сигнала в передаточных линиях и возникновения в них вынужденных колебаний изучались различными авторами (см.[9],[29] и имеющуюся там библиографию). При этом передаточные линии имеют как правило вид, определенный схемами, представленными на рисунках 1.1 и 1.2.
Случай 1.На левом конце схемы (см. 1.1) находится вход (входным сигналом является функция Е(£)), на правом конце находится нелинейность с вольтамперной характеристикой, задаваемой функцией д класса С1, действующей из Л1 в Я1. Параллельно этой нелинейности стоит конденсатор емкости С.
Ь&х Я ах
О X х+ьх" I
Рис. 1.1: Случай 1.
Случай 2.На левом конце схемы (см. 1.2)находится вход (входным сигналом является £’(<)), на правом конце находится нелинейность с ампервольтной характеристикой, задаваемой функцией д класса С1, действующей из Я1 в Я1. Последовательно этой нелинейности стоит катушка индуктивности Ь.
Ьах Я &х
О х х+&х I
Рис. 1.2: Случай 2.
Здесь входным сигналом является напряжение Е{£). Естественно считать, что входной сигнал "зашумлен". В качестве математической модели шума при изучении

обыкновенных стохастических уравнений М.А.Красносельский и А.В.Покровский (см. [14]) предложили рассматривать функции, у которых вторая вариация относительно некоторой фиксированной последовательности разбиений равна константе. Такая модель позволяла заметить "стохастические" эффекты, используя методы детерминистского анализа. Наиболее простой вид последовательности функций с постоянной второй вариацией дает последовательность
1 •
-вш—, (1.1)
п п2
рассматриваемая на отрезке [0,7г] с разбиением Э = {Лп}, задаваемыми точками Л„ = {^2 : г = 1, 2 2п2}. Покажем, что ее вторая вариация равна константе. Вычислим квадратичную вариацию последовательности функций 1.1 на промежутке [О, я]:

1 • * п о.
— sin——; 0; 7г;
п nz
= lim У
n—>оо
1 . т 1 . (г — 1)7г 2 — sin — sm
п 2 п
2 п2
= lim —5- = 2.
П—><50 fl
Естественным поэтому является вопрос, приводятся ли такого типа возмущения входного сигнала Е в моделях схем 1.1 и 1.2 к эффектам, отмеченным М.А.Красносельским и А.В.Покровским. В диссертации рассматривались сигналы вида
E{t) = E{t) + ee{tje2) (1.2)
в начальной задаче и
E(t) = т + £e(t/e2) (1.3)
в задаче о вынужденных колебаниях, где е - периодическая функция и амплитуда периодического "шума" обратно пропорциональна корню квадратному из частоты. Последовательность (1.1) является частным случаем такого шума. После стандартного сведения указанных задач к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве Е = L2 х L2 X R1 эти уравнения имеют вид
и' = — £2Аи + е£?(т)ео + е2/(т, е2т, и) (1.4)

В силу дифференцируемости оператора V г п и условия Л? теоремы 2.1 выпол-нено равенство
и'тлЛ _ М1П) + - «I") = «а" - «?
где П(и? — и?) - бесконечно малая более высокого порядка. Разделим его на ||и? — ы?||. Получим
и?-и? П(«? - и?п'|
тТ 2 1 I 4 2 1 ; - 2 1 С4 Ч9Ч
тЩ 1 1 1 |К - «? || + ||«? - «? || ||«? - «? || • ['6}
Обозначим
>4п
П(и? — и?)
С” ~ II«?-«? ||’ Уп = ||«?-«? || •
Заметим, что уп—* 0 при еп —♦ 0.
Тогда равенство (4.32) можно переписать в виде
и,, («1 )бп Т Уп сп.

В силу доказанной Леммы 2.3 оператор Кп = V г •, (м?) уплотняет с константой

Кху0 при е —> 0. Тогда можно применить Лемму
2.7.5 (см. [1]). Следовательно, существует вектор ео такой, что еп —* во
ТбооСо = С0.
Это означает, что 1 € а(е^~А+^и’^т). Это равносильно тому, что 0 € а[М), что противоречит условию теоремы 2.3. Следовательно, уравнение (1.5) имеет единственное решение. ■