Нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений с негладкими линиями изменения типа

• Автор: Лесев, Вадим Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 123 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1.’ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ СО СМЕЩЕНИЕМ
§1. Нелокальная краевая задача для уравнения
смешанного гиперболо-параболического типа
§2. Задача типа задачи Бицадзе-Самарского для
гиперболо-параболического уравнения
§3. Краевая задача со смещением для
гиперболо-эллиптического уравнения с перпендикулярными линиями вырождения
§4. Нелокальная краевая задача для смешанного
уравнения с негладкими линиями изменения типа
§5. Краевая задача для гиперболо-параболического уравнения с тремя, попарно перпендикулярными линиями изменения типа
ГЛАВА 2. ЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА И ЗАДАЧИ С
ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В КРАЕВЫХ УСЛОВИЯХ
§1. Краевая задача для уравнения гиперболо-
параболо-эллиптического типа
§2. Задача с операторами дробного дифференцирования
в краевых условиях
§3. Краевая задача со смещением и оператором дробного дифференцирования для гиперболо-
параболического уравнения
§4. Нелокальная краевая задача для гиперболо-
параболического уравнения с локальными краевыми условиями на границе области гиперболичности
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Это обусловлено как непосредственными связями уравнений смешанного типа с проблемами теории сингулярных интегральных уравнений, теорией интегральных преобразований и специальных функций, так и прикладными задачами механики и математической физики, сводящимися к таким уравнениям.
Впервые на важность уравнений смешанного типа обратил внимание в 1902 году A.C. Чаплыгин [65]. Им было указано на то, что движение газа в условиях перехода от дозвуковой к сверхзвуковой скорости описывается уравнением смешанного типа, которое в настоящее время называется уравнением Чаплыгина.
Систематическая разработка теории краевых задач для уравнений смешанного типа с четкой постановкой задач, доказательством существования и единственности решения, началась в 20-30 годы прошлого столетия. В эти годы Трикоми Ф. [59] и Геллерстедтом С. [68] были получены основополагающие результаты.
Следующим шагом в развитии теории уравнений смешанного типа стали работы Ф.И. Франкля [62], [63], в которых -он разработал важные практические применения задач для уравнений смешанного типа в газовой динамике. В частности, в работе [63] Ф.И. Франкль показал, что задача газовой динамики до- и сверхзвуковых скоростей сводится к задаче Трикоми для уравнения Чаплыгина.
Позже, М.А. Лаврентьев отметил целесообразность исследования краевых задач для уравнений смешанного типа более простого вида, рассмотрение которых позволяет раскрыть основные свойства решений уравнений смешанного типа. Так, совместно с A.B. Бицадзе в работе [28] была рассмотрена краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. В последующих работах [6], [8], [9] A.B. Бицадзе продолжил исследования задач, поставленных в [28], ставил и рассматривал другие задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.
В это же время, в приложениях теории уравнений смешанного типа (прямая задача теории сопла Лаваля) Ф.И. Франклем [64], была отмечена необходимость рассмотрения новой краевой задачи с разрывными условиями сопряжения. Газодинамические задачи Франкля привели к идее обобщения условий сопряжения, чему были посвящены исследования Г.Д. Каратопраклиева [22], [23], а так же работы [10], [24], [45], [46].
Следующим важным этапом в становлении теории краевых задач стали предложенные А.М. Нахушевым в 1969 году [32], [33] нелокальные задачи нового типа, впоследствии названные у нас краевыми задачами со смещением, а за рубежом проблемами Нахушева [71]. Они являются обобщением задачи Трикоми, а так же содержат широкий класс корректных самосопряженных задач. Эти задачи сразу вызвали широкий интерес многих авторов [12], [18], [42], [56], [61], [72], в том числе учеников
А.М. Нахушева [2], [5], [13], [15]-[17], [25]-[27], [30], [36], [38], [39], и Салахитдинова М.С. [49]-[52], [54].
В последние годы исследования задач со смещением для уравнений

+ А1 (ж) [ г0 - ( Ту - т0 ) а? ] + А5(ж) + | А2(х, і) [ т0 - ( ту - г0 ) і ] <Й +

І А2(х, і) щ | с(і, 4) ( с0(£,0) [ ( т1 - т0 ) 4 + г0] ) 64 .

Так как (в силу условий теоремы 1.2) А3И ^ 0, то, полагая
ЛИ ЛИ ЛИ
из (1.2.10), получим нагруженное интегральное уравнение Вольтерра второго рода

ЛИ + ІЛ И *) Л (*) * = Л И - I ЛоН 0 Л (0 •

Обращая это уравнение через резольвенту ЛИ 0 ядра Л(х, Л в Ре' зультате несложных преобразований, получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода

ЛИ+ | К(х, і) (і) йі = Ф(х), (1.2.11)

К(х, і) = { С(х, ґ) [ аДх) аДх) + 2 Ь,(х) ^(х) ] -
_ 2ЪМ)Ш

{ С(£, і) [ а,(4) «іН + 2 (4) 5^4) ] - аг(4) | д^т]) С(т}, і) 6т] }
ФИ = 2 ь'ЛУдН { ^ ^ ^ С°^’0^ ^ Гі “ Т° ) * + го] ) <**