Интеграл типа Дарбу и новые случаи центра кубической дифференциальной системы

• Автор: Балтаг, Валерий Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Кишинев
• Количество страниц: 148 c. : ил

ГЛАВА I. КУБИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ИНТЕГРАЛОМ ТИПА ДАРБУ § I. Постановка задачи
§ 2. Составление системы линейных алгебраических уравнений § 3. Основная теорема. Случай А

§ 4. Доказательство основной теоремы в случаях В и С

ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЫХ ТОЧЕК ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ, ПОРОЖДЕННОЙ ИНТЕГРАЛОМ ТИПА ДАРБУ § 5.Приведение системы к простейшему виду. Случай ^=^=0 и 1=0 § б. Исследование особых точек в конечной части плоскости

§ 7. Исследование особых точек на бесконечности

ГЛАВА III. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ПРИ РАВНОМ НУЛЮ ДИСКРИМИНАНТЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ § 8. Система с интегралом (1.1)
§ 9. Качественное исследование системы (5.5) с условием (7.5) при £=§=:0,1Г='1 § 10. Качественное исследование системы (1.9) с условием (2.9) при §> = 4 , ^ = О § II. Упрощение системы (1.9) с условием (2.9) при с) = А , О

§ 12. Качественное исследование системы (1.11) с

условием (З.П) при (т-0(П1“О£О* тГ ^ «г*) О

§ 13. Качественное исследование системы (1.11) с

условием (3.11) при (т.-^(т-2.^#гО, >0
§ 14. Качественное исследование системы (1.11) с
условием (3.11) при (»и--)')(уч.-г') = О
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Актуальность теш. Для двумерной системы дифференциальных уравнений
гДе 0 1 - однородные полиномы степени I ( І« 1, 2. , І )
относительно ос и ^ с действительными коэффициентами, проблема различения центра и фокуса решена лишь в следующих частных случаях:
а) Рх = (2Х = О ; б) Р3 = 05 = О. (2)
И.С.Куклесом [1-3] изучалась также система (I) приР^ = ^, 0і 5 ас, Р. 5 Я Н О, однако впоследствии Л.А.Черкасом [I]

и А.П.Садовским [I] для такой системы были обнаружены новые случаи центра.
При этом, во многих случаях наличия центра обнаружено существование алгебраических интегралов вида
П^ = с, (3)
где - полиномы от СС и ^ с вообще говоря комплексными коэффициентами, - комплексные числа. В этом
случае, очевидно, система (I) имеет действительные или комплексные алгебраические интегральные кривые РцС"**» і) =
( * = ).
Интегралы вида (3) рассматривались в работах Г.Дарбу [I], А.Дюлака [і], М.Н.Лагутинского [I], М.В.Долова [З-б], К.С.Си-

где обозначено
Цог. - -ц с(Д . (43.4)
I. Пусть °^°о 'Ф- О . С учетом (4.3),(43.4) и (40.4) условие (6.3) имеет вид
Ц ^оо (. ^10 °^°3 + ^ОА °(з>©} “ О-00 с*'1° С^°'! _ С*°° ^°в °^о °(°Ь^ — (7.с(во + °(оз +2.о( ) — ~ Ооо °(оо ( 8 Ц. **"
+ °^о?ь)1С 2-°^®в (Л°*°в + —
- С100с(Д - С1оо Поо ( 3 е* + ^ао)] < 0 • (44.4)
После подстановки выражений (4.3) в (42.4) получаем
°(о1 С °(оо - *=0 + 1- °( 01 С °( “ ^ •= О ,
с^о^со-сО + гс(1ои- ^ =0. (45.4)
Пусть о(10с{ог _ 0(01 °(ао ф О . Тогда из (45.4)
о(.„=<<г, А.о = -Л (46.4)
При этом, условие (44.4) не выполняется, ибо его левая часть равна нулю. Остается предположить, что
°Сло °(<>а ~ °(о1 °(зо = О- (47.4)
Пусть оО — “г2^ = О , о(0о - о(г Ф О. Отсюда с учетом
о[ о о
(35.4),(40.4),(43.4) и (45.4) находим
°(ао=о(0з = 0, °(0о о/ } о(00 -о(1-фО,
сСц » «(ц в о, ^10= го(. (48.4)
С учетом (48.4) и предыдущих выражений ненулевых коэффициентов полинома ^ находим
, ^Чг=Н, |^Ч=Ц, |ао6=