Исследование локальных бифуркаций дифференциальных уравнений задач небесной механики

• Автор: Беликова, Оксана Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 115 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

1. Динамические системы: модели, бифуркации, методы исследования

1.1 Локальные бифуркации динамических систем

1.1.1 Динамические системы: вводные сведения

1.1.2 Основные сценарии локальных бифуркаций

1.2 Операторные методы исследования задачи о бифуркациях

1.3 Дифференциальные уравнения некоторых задач небесной механики

1.3.1 Ограниченная задача трех тел

1.3.2 Задача Хилла

2. Исследование основных сценариев локальных бифуркаций

2.1 Бифуркации в окрестностях треугольных точек либрации
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Переход к нормальной системе
2.1.3 Исследование круговой задачи
2.1.4 Исследование эллиптической задачи
2.2 Бифуркации вынужденных и субгармонических колебаний
2.3 Бифуркации в окрестностях прямолинейных точек либрации
2.4 Бифуркации в модели Хилла
3. Бифуркации субгармонических колебаний
3.1 Бифуркация удвоения периода
3.1.1 Постановка задачи
3.1.2 Основное утверждение
3.2 Доказательство теоремы 3.
3.2.1 Переход к операторному уравнению
3.2.2 Построение собственных значений и векторов
3.2.3 Вычисление производных оператора У(е, ц)
3.2.4 Проверка достаточного условия бифуркации
3.3 Приближенное исследование бифуркации
3.3.1 Асимптотические формулы для бифурцирующих решений: операторная схема
3.3.2 Асимптотические формулы для субгармонических колебаний
3.4 Бифуркация 2дк-периодических решений (к>2)
3.4.1 Доказательство теоремы 3.
3.4.2 Замечания
Заключение
Литература
Введение
Актуальность темы.
Дифференциальные уравнения задач небесной механики и, в особенности, классической задачи N тел занимают одно из центральных мест в общей теории динамических систем. Несмотря на относительную простоту формулировок и прозрачность основных формул эти уравнения представляют собой чрезвычайно сложный объект исследования, привлекающий повышенное внимание многих поколений ученых - математиков, механиков, физиков и др. Благодаря работам И.Ныотона, JI. Эйлера [63], Ж. Лагранжа [70], П. Лапласа [67], К. Якоби, А. Пуанкаре [42], А.М. Ляпунова [29] и др. разработан ряд, ставших уже классическими, методов исследования, нашедших многочисленные приложения в математике, небесной механике, астрономии и других науках. Существенный вклад в изучение таких уравнений внесли В.И. Арнольд [3], Г.Н. Дубошин [15] - [16], В.В. Козлов ]5], А.П. Маркеев [37], К. Маршал [39], Р. Монтгомери, К. Симо, А. Шенсине [45] и др.
Неугасающее внимание к исследованию дифференциальных уравнений задач небесной механики связано не только с тем, что они находят свое применение при изучении движения небесных тел. Эти уравнения демонстрируют огромное многообразие качественного поведения решений, от самых простых - стационарных решений (точек либрации) - до сложных хаотических движений. Дифференциальные уравнения задач небесной механики зависят от различных параметров, что может приводить к тем или иным сценариям бифуркационного поведения.
Одной из наиболее актуальных как с теоретической, так и практической точек зрения представляется исследование бифуркации в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений ограниченной задачи трех

Теорема 1.5. Пусть оператор Во — В(/3о,7о) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2. Пусть

(1.20)
(#а(А>,7о)е,е*) (Я)(/30,70)е,е*)
(ЩРо,Уо)е,д*) (В!у(р0,7о)е,д*)
Тогда ао является правильной точкой бифуркации уравнения (3.39) по направлению собственного вектора е.
Здесь В'а и В!у — операторы, полученные дифференцированием оператора В(/3,7) по (3 и 7 соответственно.
1.3 Дифференциальные уравнения некоторых задач небесной механики
Среди различных областей науки, где теория динамических систем и ее методы находят себе применение, небесная механика занимает особое место. Уже несколько столетий ее задачи служат полигоном, на котором математики испытывают различные методы исследования. Начиная с классических работ И. Ньютона, Л. Эйлера [63], Ж.Л. Лагранжа [70] и других авторов в небесной механике рассматривается огромное многообразие различных динамических моделей, описывающих движение материальных точек под действием различных возмущающих сил. Здесь центральное место занимает классическая задача п тел и ее частный случай - задача трех тел. Различным аспектам исследования задачи трех тел посвящены исследования многих авторов (см., например [15], [16], [39], [40], [41], [44], [49]).
1.3.1 Ограниченная задача трех тел
Общая или неограниченная задача трех тел состоит в изучении движения