Исследование локальных и нелокальных бифуркаций в системе уравнений Лоренца

• Автор: Калошин, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 с. : ил.

1 Модель Лоренца
1.1 Конвекция Рэлея-Бенара
1.2 Вывод модели Лоренца
1.3 Непротиворечивость модели
2 Система уравнений Лоренца
2.1 Классическая бифуркационная диаграмма
2.2 О некоторых особенностях перехода к хаосу
2.3 Поиск седловых циклов
2.4 Стабилизация неустойчивых седловых циклов
3 Построение бифуркационных диаграмм существования сепара-трисных контуров в системе Лоренца
3.1 Гомоклиническая бабочка
3.2 Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-фокуса
3.3 Гетероклинические контуры сепаратрис системы
3.3.1 Контур, соединяющий седло-фокус и седло-узел
3.3.2 Контур, соединяющий два седло-фокуса
3.3.3 Контур, соединяющий два седло-фокуса и седло-узел
3.4 Полная бифуркационная диаграмма
Список литературы

Наиболее универсальной математической моделью природных процессов служат динамические системы. Предположим, что состояние исследуемого объекта в каждый момент времени можно задать с помощью числовых значений параметров, совокупность которых обозначим через р = (р),Р2, •■■) и будем называть состоянием. Множество всех возможных (допустимых) состояний р—{р} образует фазовое пространство. В случае, если изменение состояния системы в последующие моменты времени можно вычислить, исходя из следующего эволюционного уравнения
Р=ф(г,р), (1)
где точка означает производную по времени, а Ф(£,р) - некоторая функция на фазовом пространстве, будем говорить о динамической системе, заданной уравнением (1). Если уравнения динамики системы (1) нелинейны, то она, при отсутствии всяких случайных воздействий, вопреки детерминированным уравнениям, которые должны однозначно определять ее движение в любой момент времени, может вести себя неупорядоченно, непредсказуемо, хаотически.
Присутствие хаоса является неотъемлемой частью большинства нелинейных динамических систем, описывающих достаточно сложные физические, химические, биологические и социальные процессы и явления. Впервые ’’необычное” поведение нелинейной динамической системы было открыто в связи с задачей прогноза погоды крупнейшим американским метеорологом-теоретиком Э. Н. Лоренцом. Появившиеся в середине 50-х годов первые численные схемы гидродинамического краткосрочного (несколько суток) прогноза погоды оказались малоэффективными, что заставило многих исследователей обратиться к статистическим методам прогноза, основанным на представлении о линейной регрессии. В немалой степени это направление стимулировалось появившимися примерно в то же время работами Н. Винера [1], посвященным предсказанию стационарных случайных процессов. Казалось, что использование

большого числа предикторов может заменить гидродинамические схемы прогноза, несмотря на существенную нелинейность атмосферных явлений. Лоренц скептически отнесся к идее статистического прогноза и решил проверить ее путем численного эксперимента на какой-либо динамической модели. В результате непростых поисков, связанных с желанием получить апериодические движения (понятно, что предсказание периодических или близких к ним движений по наблюдениям прошлых состояний системы легко осуществить, не прибегая даже к какому-либо более или менее сложному математическому аппарату), Лоренц остановился на двухуровневой модели атмосферы, которая методом Галеркина с удержанием только наиболее крупномасштабных мод была сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для найденной таким образом системы 12-го порядка действительно удалось показать полную несостоятельность статистического прогноза в рамках линейной модели. Однако попутно было сделано куда более значительное открытие. Исследуя одно из численных решений системы, Лоренц вывел промежуточные значения фазовых переменных на печать по формату ’’три знака после десятичной запятой” в памяти машины. Использовав эти значения в качестве начальных данных для последующего счета, Лоренц обнаружил, что после расчета на время около 2-х месяцев результаты резко отличались от тех, которые были получены путем интегрирования без промежуточного вывода значений переменных на печать, т. е. без отбрасывания трех последних знаков в промежуточных результатах. Вначале он даже заподозрил машинный сбой, однако тщательная последующая проверка убедила его в том, что невинное на первый взгляд округление начальных данных действительно приводит к драматическим последствиям для конечных результатов счета. Подробный анализ показал, что начальный шум порядка 10_3, удваиваясь каждые четыре модельных дня, увеличился, таким образом, за два месяца в 215 3.3 * 104 раз, достигнув
десятков единиц [2]. В дальнейшем изучаемая модель была существенно упрощена, в ней осталось всего лишь три независимые переменные, и получилась известная система Лоренца(система обыкновенных дифференциальных уравнений) [3, 4]:
Смысл переменных заключается в следующем: х характеризует интен-
(2)

Параграф 2
ПОИСК СЕДЛОВЫХ ЦИКЛОВ
С другой стороны
A2(z) -M{z)

( ш
Следовательно, точке (0, v{z), z) пространства [й, v, z) соответствует точка (u(z), v(z), z) пространства (и, v, z), лежащая на неустойчивом многообразии Vй точки О системы (2.2) и удовлетворяющая уравнениям
Очевидно, что кривая, описываемая уравнениями (2.4)- (2.5), при г —> О является касательной к оси V, так как вдоль этой кривой при г —> О
Так как на полученной кривой г — 0, то эта кривая (многообразие Vй) и есть искомая кривая г = гд{и{г), у(г)) при 0 < г < г — 1, а переход траектории в аттракторе Лоренца из одной части множества 3 в другую (из одного полупространства в другое) происходит через неустойчивое одномерное многообразие Vй точки О. Таким образом, задача нахождения неустойчивых траекторий аттрактора Лоренца и, в частности, всех неустойчивых циклов в этом аттракторе сводится к одномерному случаю и может быть решена методом возвращения на одномерное неустойчивое многообразие Vй точки б? [35].
Определим отображение А{г) первого возвращения следующим образом. Для любого значения 0 < ,гь < г — 1 из точки {го, и{го), К-^)) е расположенной, например, в правом полупространстве, испускаем траекторию системы (2.2). Эта траектория делает некоторое число оборотов в правом полупространстве вокруг точки 0, затем переходит в левое полупространство и делает опять некоторое число оборотов вокруг точки 02. После этого траектория возвращается (впервые) в исходное правое полупространство, пересекая плоскость й = О системы (2.3) в точке, принадлежащей многообразию Vй, но возможно, при некотором другом значении переменной г — Точка пересечения траекторией плоскости и = 0 находится из уравнения
(2.5)
dv A(z)
du Л2 - Л2(г)
(2.6)