Исследование бифуркаций периодических траекторий вблизи негрубых гомоклинических орбит

• Автор: Гонченко, Владимир Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 147 с. : ил.

1 Бифуркации двумерных диффеоморфизмов с гомокли-ническим касанием многообразий седловой точки нейтрального типа

1.1 Постановка задачи и основные результаты

1.2 Свойства локального отображения

1.3 Построение отображения первого возвращения. Доказательство леммы о рескейлинге

1.4 Доказательство основных теорем (теорем 1.1 и 1.2)

1.5 Условия сосуществования однообходных периодических

траекторий

1.6 Исследование бифуркаций в обобщенном отображении

1.6.1 Определение типа устойчивости замкнутых инвариантных кривых

1.6.2 Резонансы

2 Бифуркации трехмерных диффеоморфизмов с непростым гомоклиническим касанием
2.1 Постановка задачи и основные результаты
2.2 Геометрия непростого гомоклинического касания
2.3 Нормальная форма локального отображения Т0
2.4 Свойства глобального отображения Т
2.5 Доказательство основных теорем
2.5.1 Доказательство леммы 2.3
2.5.2 Приведение отображение Д. для рейскейлинга
1^5 2.5.3 Доказательство теоремы 2
2.5.4 Доказательство теоремы 2
2.5.5 Доказательство теоремы 2
2.5.6 Доказательство теоремы
3 О бифуркациях трехмерных систем с гомоклиниче-ской петлей к состоянию равновесия типа седло-фокус с нулевой дивергенцией
3.1 Постановка задачи и основные результаты
3.2 Вспомогательные результаты
3.3 Доказательство теоремы 3.1 и 3.2
3.3.1 Доказательство теоремы 3
|рф
3.3.2 Доказательство теоремы 3
3.4 Доказательство теоремы 3
3.5 Гиперболические свойства потока Д
3.6 Доказательство теоремы 3
3.7 Доказательство теоремы 3
Литература

Основной темой диссертации является исследование бифуркаций многомерных динамических систем, имеющих негрубые гомоклини-ческие (двоякоасимптотические) траектории к периодическим траекториям или состояниям равновесия седлового типа. Такие гомоклини-ческие траектории называются также либо гомоклиническими петлями в случае состояний равновесия, либо негрубыми гомоклиническими орбитами Пуанкаре в случае седловых периодических траекторий. В последнем случае говорят также о гомоклинических касаниях, по-скольку устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия сед-ловой периодической траектории пересекаются нетрансверсально в точках соответствующей гомоклинической орбиты.
Настоящая работа относится к одному из основных разделов качественной теории динамических систем - теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем.
Основы качественной теории динамических систем были заложены в конце 19-ого и начала 20-ого века в классических работах А. Пуанкаре, А.М. Ляпунова, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа. Теория бифуркаций, как самостоятельная математическая дисциплина офор-pfe милась в работах A.A. Андронова, Е.А. Леонтович, А.Г. Майера, H.H. Баутина. Прежде всего это касалось динамических систем на плоскости. Для них, в частности, было введено понятие грубой системы и указаны отличительные признаки грубых векторных полей на

Седло нейтрального типа,
1.6.1 Определение типа устойчивости замкнутых инвариантных кривых
Для того, чтобы доказать, что в момент прохождения параметров через кривую рождается замкнутая инвариантная кривая, необходимо, прежде всего, вычислить первую ляпуновскую величину Ст у ’’сложного фокуса” (т.е. у неподвижной точки отображения 7* , имеющей мультипликаторы е±мД.
Теорема 1
Gi = -—? и.А* + о(А*) , ' (1.39)
16(1 — cos ф)
Доказательство. Первый шаг в доказательстве - написать тейлоровское представление для отображения Т*, , задаваемого формулой (1.18), в окрестности ’’сложного фокуса”. Зафиксируем значения параметров Mi и М2 так, что (Мх,М2) € i.e. г1 имеет неподвижную точку Pk с мультипликаторами е±г^ при некотором ф G (0, тг). Будем обозначать соответствующие значения параметров Mi и М2 как Mf и М$. Так как = —bcXkjk( 1 + -■•), то из второго уравнения в (1.38) вытекает, что следующее соотношение
7-fc = -bck(l + ...)
должно выполняться для значений параметров на кривой . Таким образом, отображение (1.18) вблизи ’’сложного фокуса” может быть записано следующим образом
X = Y + 0{Г2к) ,
Y = Mi- M2X - Y2 + (R + .. ,)A kXY + s03AfcF3+ (1-40) +o(Afc)o(Y3) + 0(Г2к) ,

«03 = —^з/оз + • • •; (1-41)