Об одном классе квазилинейных эволюционных уравнений и их приложениях

• Автор: Кучакшоев, Холикназар Соибназарович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 111 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Нелинейные эволюционные уравнения с аккретивными операторами

1.1 Основные определения и предварительные результаты

1.2 Аккретивность и двойственность

1.3 Основные теоремы

1.4 Возмущения т - аккретивных операторов

1.5 О модифицированных системах хемотаксиса

2 Автомодельные решения системы Келлера-Сиджела

2.1 Глобальное решение по времени в п-мерном случае

2.2 Решение с обострением в п-мерном случае

2.3 Ограниченные решения типа бегущей волны
системы хемотаксиса в одномерном случае
3 Разностные схемы для задачи Дирихле и Неймана системы Келлера-Сиджела
3.1 Основные понятия и утверждения
3.2 Разностная схема для задачи Дирихле системы Келлера-
Сиджела
3.3 Разностная схема для задачи Неймана системы Келлера-
Сиджела
Литература

Введение
Работа посвящена теории эволюционных уравнений с нелинейными аккретивными операторами и ее приложений к разрешимости начальных и начально - краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Эволюционные уравнения с аккретивными операторами составляют раздел современного нелинейного функционального анализа и естественным образом возникают в процессе изучения разрешимости абстрактной начальной задачи Коши. Основным методом исследования является метод нелинейных полугрупп операторов. Указанный метод позволяет расширить класс рассматриваемых монотонных нелинейных уравнений на случай банаховых пространств.
В качестве приложения абстрактных результатов рассматриваются начальные и начально - краевые задачи для системы уравнений модели хемотаксиса.
Нелинейные абстрактные эволюционные уравнения и их приложений к конкретным задачам для дифференциальных уравнений в частных производных рассматривались в работах Красносельского М.А., Соболевского П.Е.[10], Вишика М.И.[1], Браудера Ф.Е.[39], Танабе Г.[68], Соболевского П.Е.[27], Брезиса Х.[37], Крендалла М.[44], Лионса Ж.-Л.[18], Яги
А.[70], Карсатоса А.Г.[52], Лаптева И.Г.[3], Самойленко А.М., Илолова М. [25] и др. Метод нелинейных полугрупп операторов для эволюционных уравнений в банаховом пространстве впервые рассматривается в работе Като Т.
В настоящей работе вводятся новые классы эволюционных уравнений, обобщающие уравнения изученные ранее вышеназванными авторами и позволяет найти качественно новые приложения. Для простейшей модели хемотаксиса в работах Пертоме В. [67] и других исследователей найдены глобальные решения соответствующей системы уравнений. В случае нелинейной диффузии установлены условия существования решений с обострением (blow-up). Отдельно изучается явление коллапса решений

для модели хемотаксиса. Построены автомодельные решения системы Келлера-Сиджела. Автомодельные (инвариантные) решения являются не просто частными решениями, появляющимися по счастливому стечению обстоятельств. Во многих случаях они служат своеобразными "центрами притяжения" широкого множества решений этих уравнений, а также большого класса других параболических уравнений, полученных за счет "нелинейных возмущений" исходного (Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П.[23]). Для задач Дирихле и Неймана системы Келлера-Сиджела в одномерном случае построены разностные схемы и найдены условия монотонности, устойчивости и единственности решений.
Приводим краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.
Первая глава состоит из пяти параграфов и посвящена исследованию разрешимости задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений с аккретивными операторами в банаховом пространстве и её приложений к конкретным начальным и начально-краевым задачам.
В первом параграфе первой главы приводятся определения нелинейного аккретивного оператора в банаховом пространстве, нелинейной полугруппы операторов и отображения двойственности.
Во втором параграфе первой главы приводятся различные утверждения об отображениях двойственности и аккретивности.
В третьем параграфе первой главы сформулированы и доказаны основные теоремы о решениях абстрактной начальной задачи Коши.
Рассмотрим в банаховом пространстве X начальную задачу вида
где неизвестная функция х{1) некоторая X- значная функция, а семейство нелинейных операторов (А(і)} задано на множестве В(А(і)) с X, принимает значения из множества Н(А(і)) с X и удовлетворяет следующим предположениям:
А1. Область определения А> оператора А(і) не зависит от і;
А2. Существует постоянная А, такая что для всех у Є Г> и в, і Є [О, Т]
— + A{t)x — 0,0 < t < Т, 2(0) = х0, х0 Є X,

Напомним, что если Ат- аккретивный оператор, то А не имеет собственного аккретивного расширения. Однако не каждый максимальный оператор является т - аккретивным.
Если А аккретивный и п 6 2+, то мы определим семейство операторов посредством равенств
Рассматриваются возмущения аддитивного типа. Вначале даются основные определения и устанавливается вспомогательное утверждение (лемма) о достаточных условиях аккретивности суммы двух операторов.
Основным результатом параграфа является теорема о глобальном существовании решений абстрактной начальной задачи Коши с оператором суммы А + В т - аккретивных операторов. Сущность доказательства теоремы заключается в том, что оператор В будет ограниченным в некотором смысле относительно оператора А и, что Л и В являются слабо замкнутыми операторами.
Следующие утверждения доказаны в [53]:
Если Ат- аккретивный оператор, то Ап всюду определенный липнгац-непрерывный аккретивный оператор с константой Липшица 2п.
Определение 1.4.1. Пусть А нелинейный оператор, действующий из подмножества X в X. А называется слабо замкнутым оператором, если из того что {хп} С И (А), хп —> х и Ахп —1 у следует что х Є .О(Л) и Ах = у.
Если X рефлексивное пространство и А слабо замкнутый оператор,
то А обладает следующим свойством :
Если {жп} С И (А), хп х и ]|Ае„|] < М для некоторого М > 0, то
Ахп — Ах.
Теперь выделим рассматриваемые нами возмущения.
Далее определим аппроксимацию Иосида в виде
\JnX - д„у\ < ||х - уII, X, у Є Ді,
|| дпх — х|| < п~1\Ах\,х Є О {А) П Д>, Ах — АЗх, х £
ІИпІІ < IIАаг||,ас Є £>(Л) П Бп.
(1.4.2)