Исследование решений некоторых уравнений в частных производных на основе оценок векторных полей

• Автор: Калинкина, Алла Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 157 с.

0.1. Актуальность проблемы и обзор литературы

0.2. Содержание, структура работы и методика исследования

0.3. Научная новизна. Теоретическая и практическая ценность работы

1. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

1.1. Необходимые сведения из функционального анализа

1.2. Определение функциональных пространств

1.3. Эволюционные уравнения в гильбертовых пространствах

2. ОЦЕНКИ СКАЛЯРНЫХ ПОИЗВЕДЕНИЙ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

2.1. Представления вектор-функций в звездных областях

2.2. Основные неравенства

2.3. Следствия оценок при р = 2

3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
3.1. Постановка задач 5
3.2. Существование и свойства решений
4. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ПРИ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В ПОДОБЛАСТЯХ
4.1. Метод слабой проводимости
4.2. Двумерные краевые задачи
4.3. Краевые задачи для эллиптического уравнения 95 дивергентного вида
5. НЕКОТОРЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
5.1. Разрешимость начально-краевых задач и свойства решений
5.2. Изучение соответствующих задач с использованием векторного 125 и скалярного потенциалов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ 0.1. Актуальность проблемы и обзор литературы
Системы дифференциальных уравнений в частных производных, содержащие дифференциальные операторы векторного анализа (rot, div, grad), находят применение в различных разделах фундаментальной и прикладной науки, например, в гидродинамике, электродинамике сплошных сред ([64], [65], [66], [75], [105], [110], [120], [139], [149]). Эллиптические уравнения дивергентного вида и соответствующие им параболические и гиперболические уравнения описывают стационарные и нестационарные процессы теории теплопроводности, диффузии частиц, волновые явления.
Большинство имеющих практический интерес задач допускают лишь приближенное решение с применением вычислительной техники. При разработке, обосновании и анализе алгоритмов численного решения этих задач, изучении вопросов оптимального управления распределенными системами, важную роль играет теоретическое исследование корректности соответствующих начально-краевых и краевых задач. ([1] -[4], [24], [31], [35], [37], [67], [86], [98], [115]-[117], [119], [122], [135], [141], [143], [151], [159] [164], [174], [180]).
При изучении вопросов корректности постановок различных задач, построения численных схем и их обоснования, при исследовании задач оптимизации, важную роль играют свойства классов функций, в которых рассматриваются проблемы разрешимости.
Задачам исследования функциональных классов, связанных с дифференциальными операциями векторного анализа посвящены работы Г. Вейля [19], Э. Б Быховского, Н. В. Смирнова ([17], [18]), С. Г. Крейна ([62]), С.Л. Соболева [127], Р. Темама ([138]). Развитие идей, заложенных в [19] и применение полученных результатов к изучению различных математических задач гидродинамики, начатое трудами J. Leray ([170]-[172]), продолжилось в работах J. Heywood, [166], [167], О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова, А. А. Киселева ([56], [71], [76], [131]) В. Н. Масленниковой, А. А. Дезина, М. Е. Боговского, М. А. Тимошина ([16], [87] - [91]), А. Т. Плотницкого [109], Ю. А. Дубинского ([32], [33]).
Важнейшую роль при изучении корректности обобщенных формулировок краевых и начально-краевых задач играют различные неравенства, такие, как неравенства Фрид-рихса, Пуанкаре, Корна (неравенства такого типа часто в литературе называются неравенствами Корна).

В задачах гидродинамики и электродинамики однородных сред используется неравенство, связывающее норму вектор-функции, касательная или нормальная составляющая которой на границе области равна нулю, норм ее ротора и дивергенции в пространстве Ь?.
где положительная величина С зависит только от характеристик области.
В работах [17], [18] эта оценка установлена для соленоидальных функций с использованием свойств интеграла типа потенциала, в [109], [138] она доказана на основе полученного в [34] неравенства, связывающего нормы функции, ее ротора, дивергенции и градиента. Зависимость константы в неравенстве (0.1) от геометрии области рассматривалась М. П. Галаниным, Ю. П. Поповым в [24].
С помощью оценки (0.1) доказывается, в частности, вложение пространств функций с суммируемыми ротором и дивергенцией в пространства Соболева.
Достаточно широко в литературе освящен вопрос, связанный с изучением различных задач для систем уравнений, содержащих дифференциальные операции векторного анализа, имеющих приложения в электродинамике и магнитной гидродинамике.
В работах [5]-[7] строятся решения стационарных и нестационарных краевых задач для уравнений Максвелла в пространстве обобщенных функций. Фундаментальные решения для уравнений Максвелла рассматриваются также в [80].
Для описания электромагнитного поля при функциональной зависимости общего вида в{н), 3(е) Самохиным А.Б. в работе [118] строится система сингулярных интегральных уравнений.
Исследование дифференциальных свойств решений задач гидродинамики опирается обычно на стандартную технику для эллиптических систем ([25], [61], [78], [102], [104], [125], [145], [150], [157], [158]) и связано с получением для решения априорных оценок в пространствах Соболева более высокого порядка и в пространствах Гельдера ([121], [130], [132]). Для применения указанной схемы исследования к задачам для системы уравнений Максвелла в работах [11]—[15], [26], [92], [93], [179] рассматривается расширение операторов электродинамики и погружение тем самым исходной задачи в эллиптическую задачу большей размерности. Корректность определения оператора Максвелла в негладких областях в связи с задачей колебания полого резонатора обсуждалась в работах М. 111. Бирмана и М. 3. Соломяка ([11]—[15]). В работах С. И. Матюкевича ([92], [93]) получено асимптотическое представление решения системы уравнений Максвелла вблизи особенностей границы.
(0.1)

3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
МАКСВЕЛЛА
Глава IIосвящена исследованию краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих при изучении стационарной системы уравнений Максвелла. Предложены обобщенные постановки этих задач, соответствующие различным краевым условиям. С использованием полученных в главе 2 оценок доказаны существование и единственность решений (теоремы 3.1,3.2) при достаточно общих условиях на коэффициенты.
3.1. Постановка задач
Система дифференциальных уравнений классической электродинамики носит название уравнений Максвелла, и была впервые сформулирована в 60-х годах XIX века. Окончательная формулировка уравнений электродинамики принадлежит Герцу.
Пусть Н - вектор напряженности магнитного поля, Е - вектор напряженности электрического поля, 1 - объемная плотность тока, В - вектор магнитной индукции, Е> — вектор электрической индукции, р - плотность электрических зарядов. К уравнениям Максвелла относятся уравнение, определяющее зависимость вихря магнитного поля от плотности токов проводимости и токов смещения
Ал - дГ)
тоХН = — , (3.1)
с с 5?
уравнение, выражающее закон индукции электрического поля при изменении магнитного поля
гсЛЁ = -~, (3.2)
с от
уравнение Гаусса
<ИЁ-Алр. (3.3)
и условие соленоидальности вектора магнитной индукции
(Иу£ = 0. (3.4)
При рассмотрении линейных сред справедливы материальные соотношения, связывающие между собой значения основных векторов электромагнитного поля
В = рН,5 = еЁ, (3.5)
где р - тензор магнитной проницаемости среды, е - тензор диэлектрической проницаемости. Имеет место дифференциальная форма обобщенного закона Ома