Анализ дифференциальных операторов на многообразиях со слоением

• Автор: Кордюков, Юрий Аркадьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 297 с.

1 Предварительные сведения

1.1 Некоторые сведения из теории слоений

1.1.1 Слоения

1.1.2 Голономия

1.1.3 Трансверсальные меры

1.1.4 Связности

1.1.5 Инфинитезимальные преобразования

1.1.6 Римановы слоения

1.1.7 Дифференциальные операторы на многообразиях со слоением

1.1.8 Геометрические операторы на многообразиях со слоением

1.1.9 Группоид голономии

1.1.10 Голономно эквивариантные векторные расслоения
1.1.11 Операторные алгебры слоения
1.2 Трансверсальное псевдодифференциальное исчисление
1.2.1 Классы Фт,-°°(М, Т, Е)
1.2.2 Анизотропные пространства Соболева и классы Фт>**
1.2.3 Символическое исчисление в классах Фт’_0°
1.2.4 Непрерывность символьного отображения
1.2.5 Остаточный след
2 Функциональное исчисление для касательно эллиптических операторов на многообразиях со слоением
2.1 Псевдодифференциальное функциональное исчисление
2.1.1 Комплексные степени
2.1.2 Действие в пространствах Соболева
2.1.3 Оператор вида f{A) как псевдодифференциальный оператор
2.1.4 Случай финслеровых слоений
2.2 Глобальные аспекты функционального исчисления
2.2.1 Функциональное исчисление в С’-алгебрах
2.2.2 Совпадение спектров для аменабельных слоений
2.2.3 Свойство касательности операторов /(А)
2.2.4 Глобальная регулярность касательных ядер
2.2.5 Функция распределения спектра для касательно эллиптических операторов
2.3 Поведение при больших временах послойного уравнения теплопроводности
2.3.1 Теорема Ходжа для касательно эллиптических комплексов
2.3.2 Доказательство теоремы 2
2.3.3 Приложения основной теоремы
3 Трансверсально эллиптические операторы на многообразиях ограниченной геометрии
3.1 Предварительные сведения о многообразиях ограниченной геометрии
3.2 G-многообразия ограниченной геометрии
3.3 Действие операторов в пространствах Соболева
3.4 Трансверсально эллиптические операторы
3.5 Компактность, фредгольмовость и индекс
3.6 Функция распределения спектра
3.7 Дзета-функция
4 Трансверсально эллиптические операторы на многообразиях
со слоением
fc 4.1 Определение и основные свойства
4.2 Комплексные степени и дзета-функция
4.2.1 Построение комплексных степеней
4.2.2 G-след
4.2.3 Мероморфное продолжение дзета-функции
4.3 Теорема Егорова
4.4 Формула следов типа Дюйстермаата-Гийемина
4.4.1 Предварительные сведения и основные результаты
4.4.2 Редукция к случаю, когда А эллиптичен
4.4.3 Случай эллиптического оператора
4.4.4 Индексы Маслова
4.5 Некоммутативная спектральная геометрия римановых слоений
4.5.1 Спектральные тройки, ассоциированные с римановыми
слоениями
4.5.2 Описание спектра размерностей
ф 4.5.3 Некоммутативный геодезический поток на многообразиях со слоением
5 Спектральные асимптотики для эллиптических операторов на многообразиях со слоением
5.1 Квазиклассические спектральные асимптотики
5.1.1 Введение
5.1.2 Параболическая полугруппа, порожденная оператором Ah
5.1.3 Асимптотика следа операторов параболической полугруппы
5.1.4 Самосопряженный случай
5.2 Адиабатические пределы и спектральная геометрия слоений
5.2.1 Введение

5.2.2 Оценки для геометрических операторов в адиабатическом пределе
5.2.3 Асимптотическая формула для функций оператора Лапласа
5.2.4 Формулировка в терминах послойных спектральных характеристик
5.2.5 Пределы собственных значений
6 Спектральные последовательности и малые собственные значения
6.1 Спектральные последовательности слоения
6.1.1 Предварительные сведения о дифференциальной спектральной последовательности
6.1.2 Описание типа теории Ходжа члена Ег дифференциальной спектральной последовательности
6.1.3 I? спектральная последовательность
6.1.4 1? спектральная последовательность римановых слоений
6.2 Ьг спектральная последовательность и малые собственные значения
6.2.1 Основные результаты
6.2.2 Функция распределения спектра
6.2.3 Разложение спектральных последовательностей в прямую
сумму
6.2.4 Доказательство теоремы 6
6.3 Асимптотики собственных форм
6.3.1 Вложенная последовательность пространств теории Ходжа242
6.3.2 Характеризация пространств Ни в терминах дифференциала и кодифференциала де Рама
6.3.3 Лапласиан в адиабатическом пределе и его оценки
6.3.4 Доказательство основного результата о сходимости собственных форм
6.4 Спектральная последовательность и малые собственные значения для римановых слоений
6.5 Другие последовательности вложенных пространств
7 Обобщенные числа Бетти и формула типа Лефшеца
7.1 Обобщенные числа Бетти
7.1.1 Определение обобщенных чисел Бетти
7.1.2, Существование и простейшие свойства обобщенных чисел Бетти
7.2 Обобщенная эйлерова характеристика и эйлерова характеристика по Конну
7.2.1 Формулировка основного результата
определяет вложенное каноническое отношение в Т'М. Более того, алгебра интегральных операторов Фурье, ассоциированных с этим каноническим отношением, совпадает с алгеброй Ф*,_00(М, .F, Е).
Сначала напомним, что интегральный оператор Фурье на М — это линейный оператор F : С°°(М) —> D'(M), микролокально представимый в виде
Fu(x) = J e^x’y’e^a(x,y,e)u(y)dyde, (1-14)
где х е X с Шп,у е У С Шп,в 6 0. Здесь а(х,у,в) £ Sm{X хУхЕ")-
амплитуда, ф — невырожденная фазовая функция.
Рассмотрим гладкое отображение из X х Y х KjV в Т*Х х Т*У, задаваемое формулой
(х, у, в) i-> (х, фх(х, у, в), у, —фу(х, у, в)).
Оказывается, что образ множества
Яф = {(*, у, в) 6 X х Y xRN : фв(х, у, в) = 0}
при этом отображении есть однородное каноническое отношение Аф в Т'Х х T'Y. (Напомним, что замкнутое коническое подмногообразие С С Т'(Х х Y) 0 называется однородным каноническим отношением, если оно является лагранжевым по отношению к 2-форме и>х — шу, где шх,шу — канонические симплектические формы на T'X,T*Y соответственно.)
Говорят, что интегральный оператор Фурье F ассоциирован с Аф. Будем писать F 6 Im(X х Y, Аф), если а £ Sm+n'2~N/2(Х х У х RN).
Рассмотрим элементарный оператор А : C£°(U, Ец) -4 Еи,), задаваемый формулой (1.9) с к £ Sm(Ip х 1Р х Iq х R9,£( Аф = {(*, у, Ç, у, х1, у', у') £ T*U х T*U' :у = у',£=£ = 0,7? = -т/},
что совпадает с пересечением G'Tfl с T'U х T*U'. Кроме того, мы видим, что класс Фт,_00(М, F, Е) состоит из всех операторов в С°°(М, Е) с ядрами Шварца, принадлежащими пространству Im~p/2{Mx М, G'Tn С{Е)®Т(М х М)1^2). Поскольку, вообще говоря, G?K — иммерсированное каноническое отношение, необходимо быть более аккуратным с определением классов Im(M х М, G'Tn С(Е) ® |Т(М х М)р/5). Это делается аналогично тому, как это сделано в определении классов послойных псевдодифференциальных операторов на многообразии со слоением, данном в [58] (см. также приведенное выше определение классов Ф* ~°°(М, F, Е)). Именно, пространство Im(M х М,СГк) финитных лагранжевых обобщенных функций определяется как множество