Исследование качественных свойств решений некоторых нелинейных уравнений соболевского типа

• Автор: Аристов, Анатолий Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 213 с. : ил.

Оглавление
Введение

Обзор литературы

Глава 1. О математических моделях, приводящих к уравнениям соболевского типа

1.1. Предварительные рассмотрения

1.2. Вывод уравнений

1.3. Модели с одномерной независимой пространственной переменной

1.4. Другие модели

1.5. Выводы к главе

Глава 2. Задачи Коши для уравнений с кубической нелинейностью и с квадратичной нелинейностью
2.1. Задача с квадратичной нелинейностью
2.2. Задача с кубической нелинейностью
2.3. Пример нетривиальных начальных данных
2.4. Выводы к главе
Глава 3. Задачи Коши для уравнений, где коэффициенты при неизвестной функции и при ее лапласиане равны
3.1. Основные утверждения
3.2. Выводы к главе
Глава 4. Начально-краевые задачи для уравнений с линейным выражением под знаком производной по времени
4.1. Модельная задача
4.2. Уравнение общего вида

4.3. Уравнение, имеющее равные положительные коэффициенты при
неизвестной функции и при ее лапласиане
4.4. Уравнение, имеющее нулевые коэффициенты при неизвестной
функции и при ее лапласиане
4.5. Выводы к главе
Глава 5. Начально-краевые задачи для уравнений с нелинейным выражением под знаком производной по времени
5.1. Модельная задача
5.2. Однородное уравнение с двумя нелинейностями
5.3. Однородное уравнение с двумя нелинейностями (дополнение)
5.4. Неоднородное уравнение с двумя нелинейностями
5.5. Неоднородное уравнение с двумя нелинейностями (дополнение) .
5.6. Выводы к главе
Глава 6. Начально-краевые задачи для уравнений с нелокальными по времени членами
6.1. Однородное нелокальное уравнение волн
6.2. Неоднородное нелокальное уравнение волн
6.3. Неоднородное нелокальное уравнение волн (дополнение)
6.4. Выводы к главе
Глава 7. О начально-краевой задаче для одного неклассического интегродифференциального уравнения
7.1. Основные утверждения
7.2. Выводы к главе
Заключение
Список литературы

Введение
Актуальность темы исследования. Теория соболевских уравнений относительно молодая, и здесь много нерешенных вопросов.
Значительный интерес к уравнениям соболевского типа наблюдается с середины XX века. Одной из первых работ на эту тему является статья С. Л. Соболева [69]. Там было выведено уравнение малых колебаний во вращающейся жидкости
д2 д2и
Для него были исследованы разные задачи, в частности, было построено в явном виде решение задачи Коши.
В последние десятилетия было опубликовано множество работ, посвященных асимптотическим представлениям при больших временах решений нелинейных эволюционных уравнений (и соболевских, и классических). Отметим, что важные результаты в этой области установили И. А. Шишмарев, П. И. На-умкин, Е. И. Кайкина, М. В. Комаров, В. В. Конотоп, М. Цуцуми, С. J. Amick, J. L. Bona, М. Е. Schonbek, D. В. Dix, М. Escobedo, N. Hayashi, К. Mochizuki.
Сложность исследования асимптотик связана с тем, что для него требуется не только глобальная по времени разрешимость, но и наличие некоторых априорных оценок разности между решением и приближенным решением. Кроме того, техника обобщенных решений не может применяться — здесь надо изучать классические и «полуклассические» («semiclassical») решения, т. е. те, которые находятся в лебеговых пространствах по пространственным переменным и являются гладкими по времени.
В книге [23] дано систематическое изложение асимптотической теории задач Коши для эволюционных уравнений, относящихся к некоторому обширному классу. Рассмотрены случаи малых и немалых начальных данных. Сделана следующая классификация асимптотик:

С помощью леммы 3 продолжим преобразование. Таким образом,
К (р, 1) I ^ 5А^2 27 (п + I)-7 (£г7 + (п - к + I)-7) •

. |е-Л(р)(£-т)е-2агйг | 2*+аМ-в-а (М-5"“ (р - д) + ЛГ*-0 (д)) ■ О
.е-к(с_1(р-<2)т-к„_Д1?)т^
Оценим произведение экспонент, учитывая, что К (р) ^ а + 2 к (р):
е-К(р№~т)е-2ате-Ь-1 (р- ^ е-а<+аг-2к(рр+2к(р)г-2ат--к*_1(р-д)г-к„_*(д)т ^
< е2к(р)г-ате-к„(р)(-а4_
Тогда
е-/Г(р)Ц-т)е-2ате-к*_1(р-д)г-к„^Д;(д)г^г ^

< е-кп(р)<-а<
-к„(р)<-аг
е2к(р)г-аг^т ^
е_ кп(рЦ—<Л
(2.6)
а2ст—ат
а — 2с

Замечание. Из оценок (2.6) видно, что требование а > 0 существенно: оно обеспечивает существование с.
Следовательно,

К {р, £) I ^ СИ”"1 (п + I)“7 ^ (А:-7 + (п - А + I)-7) ■

(М~я~а (р - С]) + Т/-Л-° (д)) дде~кп^1~аЬ.

Интеграл и сумма равномерно ограничены. Отсюда непосредственно получаем требуемое утверждение. Предложение доказано.
С помощью предложения 1 и принципа сжимающих отображений можно доказать, что обобщенное решение рассматриваемой задачи существует и единственно. Подробно этот метод описан в [23, с. 7-8 и 13-14].