Стабилизация решения смешанной задачи для двумерной системы уравнений Навье-Стокса в неограниченной области

• Автор: Хисамутдинова, Наиля Аслямовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 76 с.

Оглавление

Введение
1. Поведение решения первой смешанной задачи для параболического уравнения в области с несколькими выходами на бесконечность 16 §11. Постановка задачи. Неравенство Фридрихса.

Формулировка основных результатов

§ 12. Оценка сверху

§13. Оценка снизу

§1.4. Оценки характеристик ^(г) и р*

2. Стабилизация решения смешанной задачи для двумерной системы уравнений Навье-Стокса в неограниченной области с несколькими выходами на бесконечность

§ 2.1. Вспомогательные утверждения

§ 22. Решение уравнения сНун = / и его свойства

§ 23. Существование решения и его свойства
§ 2.4. Поведение решения на бесконечности
Библиографический список

Введение
В области И = (0, оо) х где П - неограниченная область В2, рассматривается следующая задача
иг + (и • У)и = ^Ди — Vр, сНуи = 0, (0.1)
и |х6<щ= 0, и |<=0= <р(х). (0.2)
Здесь и(£, ж) = (щ, и^) и р(Ь, х) — неизвестные скорости течения жидкости и давление, а (р = (<£ц, 2) ~ заданные начальные скорости.
Отметим, что в рассматриваемых нами вопросах допустима замена переменных и = г/у, ^ — т/г^, р = м2д, приводящая систему (0.1) к аналогичной с V = 1.
В последние два десятилетия появилось много работ, посвященных исследованию поведения при t —>■ оо кинетической энергии
и 2($,х)(1х
(Ь2 - нормы) течения жидкости в неограниченной области. Качественный ответ о стремлении к нулю кинетической энергии в случае трехмерной задачи Коши был дан в работах Т. Като [1] (для сильного решения) и К.
Масуды [2] (для слабого решения). Более того, в работе [1] получена следующая оценка. Если соленоидальный вектор <р принадлежит пересечению Ь„(Д”) П Ьг(Дп),г € [1, гг], и норма ||у?||„ достаточно мала, то существует единственное сильное решение задачи Коши (0.1), (0.2), и справедлива
оценка ||и(г)||а = 0(£_7),7 = (п/г — п/а)/2, при а > г,£ —> оо. Здесь и далее
причем для а = 2 и ^ = П соответствующие индексы будут опускаться.
Оценка скорости убывания кинетической энергии для слабого решения тг-мерной задачи Коши для системы вида (0.1) была дана в [3, п = 3] и уточнена в [4], [5], Сформулируем результат работы [4]. Если соленоидаль-ный вектор у принадлежит пересечению Ь2(ЛП) П Ьг(В.п), п > 2, г Є [1, 2), то существует слабое решение задачи Коши (0.1), (0.2), убывающее точно так же, как и в случае уравнения теплопроводности: ||и(і)|| = 0(£~7),7 = (п/г—п/2)/2. В [5] такая же оценка установлена для произвольного слабого решения, удовлетворяющего энергетическому неравенству
Цч(()1|2 + 2"^' 1^и(т)||2Л- < |К«)||2,
для 5 = 0, п.в. в > 0 и всех Ь > в. В случае задачи во внешности ограниченной области аналогичные результаты получены для г Є (1,2) в работах [6, п = 3] и [7, п > 3].
Таким образом, нелинейные слагаемые и давление, участвующие в системе (0.1) не замедляют скорости затухания течения жидкости, обеспечиваемой входящим в систему (0.1) оператором теплопроводности. Конечно, условие прилипания на границе (0.2) вызывает дополнительное замедление течения, однако, судя по приведенным выше результатам, по-видимому, этот эффект не сказывается существенным образом в поведении решения внешней задачи. Хотя нам неизвестно, являются ли упомянутые результаты для внешней задачи точными.
Затухание течения, обусловленное прилипанием жидкости к границе области, заведомо сказывается в случае некомпактной границы. Это подтверждается результатом работы [8]. В частности, для областей враще-

ср через сечение П(/). По условию И найдется решение такое, что
, «4 е^К).
У+ 2+
Неравенство Фридрихса позволяет получить оценку
1К-1Ц ^ с\^(х)и.

Функции = гц(х{)(р — гиг+ — гиг_ принадлежат Л2(П(/)) и имеют ограниченный носитель. Поскольку в случае ограниченной области с липшицевой л
° 1 0 1 ° 1 границей Л2 =31, то щ <5Л2(0(/)). Очевидно, ||ги+|Ц. + -» О
при i оо, если разность г — ^равномерно отделена от нуля. Поэтому
\<р — 0)что и требовалось доказать.
Приведем теперь условие, гарантирующее нулевой поток через сечение

для любой функции (р €Л2(П(/)).
Теорема 2.1. Пусть область П(/) такова, что

/ л:—Г = ОО-
Уо Iй-

Тогда любой вектор V £Л2(П(/)) имеет нулевой поток.
Доказательство. Поток через сечение трубчатой области, очевидно, постоянен. Оценим его
I2 = ( [ (о, п)с?в^ = | [ Удх^ < [ 12дх [ удх < JSir) ) дЗ{г) У5(г) Js{,r)
<с/"-1(г) [ удх.
Л5(г)
/5(г)
Поделив на /п-1(г) и проинтегрировав, получим

I2 [ т~Т7 - с [ у1^х
Уг /п_100 - Упя
при г —> оо. Это возможно лишь при 1 = 0.
Отметим еще, что для области с одним выходом на бесконечность поток через сечение трубчатой области равен нулю.