Интегральные представления решений для одного класса переопределенной системы дифференциальных уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами

• Автор: Мирзоев, Неъматулло Хакимович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 110 с.

§1.1. Интегральные представления решений для переопределенных систем со слабыми сингулярными коэффициентами ( а<1,р<2).
§1.2. Случай, когда система имеет одну слабую сингулярную линию и одну сингулярную точку ( а<1,р=2).
§1.3. Случай, когда переопределенная система имеет одну слабую сингулярную точку и одну сингулярную линию ( а=1,Р<2).
§1.4. Случай, когда система имеет сингулярную линию и сингулярную точку (а=1,Р=2).
§1.5. Случай, когда система имеет сверхсингулярную линию и слабую сингулярную точку ( а>1,р<2).
§1.6. Случай, когда система имеет сверхсингулярную линию и сингулярную точку ( а>1,Р=2).
§1.7. Случай, когда система имеет слабую сингулярную линию и сверхсингулярную точку ( а<1,Р>2).
§1.8. Случай, когда система имеет сингулярную линию и сверхсингулярную точку ( а=1,Р>2).
§1.9. Случай, когда система имеет сверхсингулярную линию и сверхсингулярную точку ( а>1,Р>2).
§1.10. Интегральные представления многообразия решений для линейных переопределенных систем дифференциальных уравнений первого порядка с внутренней особой линией и особой точкой.
Литература.
Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами являются одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных и имеют много важных приложений.
Многие задачи прикладного характера приводят к рассмотрению переопределенных систем дифференциальных уравнений.
Поэтому исследованию переопределенных систем дифференциальных уравнений с регулярными и сингулярными коэффициентами посвящено много работ.
Особый интерес представляет изучение переопределенных систем дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами.
Теория переопределенных систем уравнений в частных производных с регулярными коэффициентами достаточно разработана в работах Якоби и др. Дальнейшее развитие эффективных методов исследования совместности переопределенных систем уравнений в частных производных и построение многообразия решений как с регулярными, так и с сингулярными коэффициентами получили в работах Л.Г. Михайлова [20-23 ].
В частности работах Л.Г. Михайлова опубликованных в ДАН России в 1997 найдено формулы представления для переопределенной системы
лди г л пди
г —- =а(х,у) , г —=Ь(х,у) ох оу
где n-целое положительное число.
Фундаментальные результаты по теории дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами, вырождающимся эллиптическим и гиперболическим уравнениям, получены в работах М.В.Келдыша [16], A.B. Бицадзе [4], М.М. Смирнова [53], Л.Г. Михайлова [21], В.Ф. Волкодавова [6],
Н. Раджабова [28]-[34] З.Д. Усманова [56], А.Д. Джураева [14], М.М. Салахитдинова [52], R.P. Gilbert [13], R.W. Carroll [12], R.E. Showalter [12],

В.Н.Врагова [9], С.А.Терсенова [55], А.И. Янушаускаса [61], А.М. Нахушева [24] и их учеников.
Фундаментальные результаты по гиперболическим уравнениям с сингулярными коэффициентами и вырождением того или иного порядка получены в работах A.B. Бицадзе [5], М.М. Смирнова [54], М.М. Салахитдинова [52] , В.Ф. Волкодавова [7], В.Н. Врагова [10], O.A. Репина [51], Н. Раджабова [35]- [45] и других авторов.
Некоторые вырождающиеся системы первого порядка рассматривались в работах A.C. Янушаускаса [61] ,А.В. Бицадзе [2],Н. Раджабова [49], Т.В. Чекмарёва [60], М.И. Лернера [18] и И.Е. Плешинской [26].
Имеется ряд работ, посвященных изучению переопределенных систем первого порядка с сингулярными линиями и сингулярной точкой.
Существенные результаты по переопределенным системам с регулярными и сингулярными коэффициентами получены в работах Л.Г. Михайлова [21], А.Д. Джураева [14], Н.Р. Раджабова [46], Э.Рузметова [50], Р. Пирова [27], Ф. Шамсиддинова [61] и других авторов
В частности, в работах Н. Раджабова была исследована переопределенная система первого порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями и сингулярной и сверхсингулярной точкой. Там же ставится задача о нахождении многообразия решений для переопределенных систем первого порядка, когда одно из уравнений системы имеет сингулярную линию, а второе уравнение имеет сингулярную точку. Кроме того, представляет большой интерес изучение таких систем, когда порядок особенности больше, чем единица, то есть когда одно из уравнений системы имеет сверхсингулярную линию, а второе уравнение имеет сверхсингулярную точку.
Основной целью настоящей диссертации является исследование таких систем.

Лемма 1. Пусть в системе (1.1) а=1,/3=2 коэффициенты и правые части удовлетворяют условиям (1.7) , (1.8), (1.9), (1.61)1, (1.61)2, а(0,0)>0 . Тогда любое решение системы (1.1) из класса С1 (И) представимо в виде (1.66) , где с1-произвольная постоянная.
Решая второе уравнение системы (1.1) согласно схемы, изложенной в параграфе 1.2, находим:
и(х,у) = г~ь(0’0) ехр[-1Р/(х,у)]{<р{х)+ _|У(0’0)-2 ехр|Ж/(х,в)У2{х^в,

где (1.67)
о Р
Предполагая, что а(х,у) в начале координат удовлетворяет условию (1.61)', первое уравнение системы (1.1) представим в виде:
~[ха<т ехр[Г“(х,уШх,У)] = /, (х. у)ха(0'°н ехр[Ж“ (X,у)1

где (1.68)
К(х,У)=)а(‘’у)-а(0’% о
Подставляя и(х,у) из (1.67) в (1.68), имеем: ^[ехр[Г;(х,у)-Ж/(х,у)К(0’0)г-6(0-°ч]ехр[Ж/(х,5)]х
ОХ о
X Ръ^у1/г (х, И )<* + <р(х)) = / (X, у)х''(00)“1 ехр[1Г (х, у)]
После дифференцирования получим:
ехр[1С(х,у) - Шьх,у)]ха^-Ь^{^1 ~Ф! (х,у)) +
х дх
+ А (г-ь<т))(]ехр[Ж/ (х, в)]рьт)-2/2 (х, + <р(х)) + )~(рЬ{т
ОХ о о
хехр[1Р/ (х,.?)]/2(х,.у))<* + <д'(х)} = /1(х,у)ха{т~1 ехр[Ж“(х,у)].
Сокращая обе стороны этого равенства на ехр[Уаа(х,у)]ха(0’0) и
умножая на ехр[\Аьр(х,у)]гь<0’0) , имеем.