Интегральные представления и граничные задачи для некоторых уравнений эллиптического типа второго порядка с двумя сингулярными линиями

• Автор: Джабиров, Джабар Кахарович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 129 c. : ил

§ I. Различные аналоги формулы Грина для дифференциального оператора Эйлера-Пуассона-Дарбу с

двумя сингулярными линиями

§ 2. Распространение аналогов формулы Грина для уравнения типа Гельмгольца с двумя сингулярными линиями

§ 3. Фундаментальное решение для уравнений типа

Эйлера-Пуассона-Дарбу и Гельмгольца

§ 4. Интегральные представления регулярных решений

уравнения типа ЭЦЦ

§ 5. Интегральные представления регулярных решений

уравнения типа Гельмгольца

§ 6. Понятие потенциалов простого и двойного слоя

для уравнения типа ЭПД и их свойства

§ 7. Понятие потенциалов простого и двойного слоя
для уравнения типа Гельмгольца
§ 8. Постановка граничных задач
§ 9. Сведение граничных задач типа Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям типа Фредгольма
§10. Точные теоремы о разрешимости граничных задач. . 100 §11. Исследование интегральных уравнений задач
типов Дирихле и Неймана
ЛИТЕРАТУРА

Актуальность темы. Работа посвящена изучению следующих уравнений:
^,уи-дхл 'ду*' * Э* ф && 5 (1)
^Ъгс£/,.*Ъ-£'и.=о, (2)
^^ ^^ <з)
где уг/ , V , Я- - вещественные числа.
Вырождающиеся дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами являются одним из важных разделов математической физики. К таким уравнениям приводят многие задачи гидродинамики, теории упругости и других разделов математической физики. Исследованием этих уравнений занимались крупные ученые как в нашей стране, так и за рубежом. Фундаментальные результаты в данной области были получены М.В.Келдышем,
А.В.Бицадзе, М.М.Смирновым, и др.
Исследованию вырождающихся дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений эллиптического типа с сингулярной линией посвящено большое число работ. Достаточно подробная библиография по этой обширной теме имеется в работах и монографиях М.В.Келдыша [э], А.В.Бицадзе М.М.Смирнова [27]
[29| , Л.Г.Михайлова [14] , [15] , Ю.И.Соловьева [зо], А.М.Нахушева [18^ , [19] , С.А.Терсенова [32~], [зз] , А.Янушаускаса [зб] , В.Ф.Вол-кодавова, В.И.Гребенщикова [б] , В.Ф.Волкодавова, Н.Я.Николаева [в|, 3.Д.Усманова[34], С.П.Пулькина [_2б[ , С.П.Пулькина, И.А.Макарова [21], О.И.Маричева [ц] , [12] , Н. Раджабова [22]-[24] , Н.Раджабова, А.С.Саттарова [25] и зарубежных ав-

торов [зт| - [40] . Далее ограничимся обзором лишь тех работ,которые непосредственно соприкасаются с нашей темой.
В работах М.В.Келдыша, А.В.Бицадзе, М.М.Смирнова, К.И.Бабенко были исследованы граничные задачи типов Дирихле и Неймана для общего линейного дифференциального уравнения второго порядка с главными частями
д2Ы + .
а Эх* - (У ~~ дх*
Ф.И.Франкль [35] обнаружил важные приложения уравнения с сингулярной линией (вырождения на линии) к газовой динамике, а именно к теории установившихся смешанных до и сверхзвуковых течений.
В ряде работ Л.Г.Михайлова [1^> [15], [1б]изучены уравнения в частных производных с сингулярными коэффициентами. В частности в [14] задача о нахождении решения эллиптических уравнений видов
ЛЪч-'Е 2У.ч- ^£1 г
Эж Ч- чэГ /г/ УУ /21 к 12
сведена к решениям нефредгольмовых интегральных уравнений второго рода. Подробно изучены эти интегральные уравнения. На этой основе исследован ряд краевых задач. в[1б] в зависимости от для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу получено два аналога формулы Пуассона.
В работах О.И.Маричева [и] , [12] построены решения сингулярных задач Неймана и Дирихле для уравнения типа Гельмгольца в полуплоскости у>о* квадрате Х>0 » ^>0 * а также задача Дирихле в полукруге ЧРИ .

) при уО->о& и фиксированных^^
и О-^-р &>%> Ч.)- ) приу^—><=>-=• и фиксированных (Ъс^ у)
В (3.33) вместо и У подставляя 2-// , 2- У и, умножая
функцию 0ЯС
ветствующее фундаментальное решение уравнения (2) при
Для вновь полученных фундаментальных решений также имеют место леммы, аналогичные леммам 3.8 и 3.9.
Функция
(3.37)
удовлетворяет уравнению (3) по переменным , а по переменным Г) уравнению (I). Для конечной области в окрестности указанных точек поведение (3.37) совпадает с поведением (3.33).
§ 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТИПА ЭПД
Внутри области^ фиксируем произвольную точку .
Пусть Кс - круг с центром в этой точке с границей и радиусом с£ - область, граница которой состоит из Г и
частей прямых I<Р) , . В области
функция ^ является регулярным решением уравнения
(I) при уг/^, У , (по точке Ъ) ). Применяя к функциям и ^ ^ по области с^>-
формулу (1.27), будем иметь
на X ". уу , получим соот-