Применение метода факторизации в асимптотической теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка

• Автор: Мохамед, Камара Стиль
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Минск
• Количество страниц: 102 c. : ил

Введете

§ I. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 2. КОЛЕБЛЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 3. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

§ 4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ФАКТОРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 5. КЛАССИФИКАЦИЯ ФАКТОРИЗОВАННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРИЗАЦИЙ ЛИНЕЙНЫХ ТИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 7. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ

УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Литература

Основополагающей в теории преобразований обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка является классическая статья Е.Е.Куммера [55] . В основе исследований Куммера лежит дифференциальное уравнение третьего порядка, называемое в настоящее время уравнением Куммера.
Последователи Куммера изучали линейные дифференциальные уравнения высших порядков, в частности, в связи с так называемой проблемой эквивалентности (см., например, [15] , [39] , Г43] ). Эта проблема состоит в определении необходимых и достаточных условий для существования взаимного преобразования (заданного типа) двух уравнений. Изучение глобальных преобразований линейных дифференциальных уравнений -го порядка и, в частности, ответ на вопрос, когда и каким образом два уравнения с вещественными коэффициентами преобразуются на полном интервалеих определения, остается открытым.
В настоящее время часто приходится прибегать к некоторым преобразованиям, сохраняющим основные свойства исходного уравнения: линейность, устойчивость решений, ограниченность их коэффи-центов и т.д. В работах [18] , [21] , [22] , [24] , [26] , [27] , [29] , [30] , [40] , [41] приведены многие конкретные преобразования и доказаны для некоторых случаев необходимые и достаточные условия сохранения тех или иных свойств исходного уравнения при применении этих преобразований.
Весьма удобным средством как для целей задачи преобразования, так и для нахождения общего решения линейного или нелинейного уравнения второго порядка, является факторизация уравнения.
Как показано в [51] - [ 56 ] , задача о приведении обыкно-

венных линейных уравнений второго порядка
ос + а,а)сс + а0(4:)х = о (1)
с переменными коэффициентами, посредством преобразования зависимых и независимых переменных
V = v-,(-ь) ос . с!г = и (4т) с1+ . (2)
к линейным уравнениям наперед заданного вида
у'*€1СГ)У'*£о(т)у=‘0- (3)
представляет определенный интерес. От того, насколько удается эффективно преобразовать данное уравнение к известному виду, интегрируемому в квадратурах или в специальных функциях, зависит решение многих фундаментальных задач механики и физики.
В работах [2] - [ 141 указано много необходимых и достаточных условий приводимости уравнения (I) к виду (3).
В некоторых случаях указаны явные виды преобразования вида (2).
Преобразование вида (2) часто называется преобразованием Куммера-Лиувилля [56] . Приведение уравнения (I) преобразованием Куммера-Лиувилля (2) к уравнению с постоянными коэффициентами связано с разрешимостью нелинейных уравнений для ядра Ц(4) и множителя преобразования (2), т.е. с разрешимостью
уравнений типа Куммера-Шварца или Ермакова (см., например,
Г8] , ГII] , [25] ). Это сложная задача, ибо интегрирование указанных уравнений основано на отыскании какого-либо решения уравнения (I).
Основным приемом, восходящим к изучению линейного уравнения и систем уравнений, является метод факторизации, который был предложен Шредингером в [491 , и с тех пор существен-

-біт т„ (4)= - 00 . Тогда на основании леммы 4
-Ці»+ 00 л ,
-Lim m22 (4) =+ 00 4—+oo _
Теорема 4.10. Пусть П12| = + оо m,,^00; m,a<+00
ГЛ22<:+оэ. Тогда для того, чтобы матрица I. (+) была матрицей Ляпунова, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий:
I) +
2) а= = 40 и существуют ненулевые с н , с 22.
такие, что функция С22 *>г СО ограничена на
C-to ,+ °о [,
3) а- + оо. £ = t0 и функция m ограничена на
n-t0, + oaL
4) Q =4 0 , "Із - •+ 00 и функция а(4о) ( + ) ограничена на
і- і t* ® c.
T e( 0 p e м a 4.II, . Пусть все ГО^-ЮО; i,j. = 1,2. Тогда
для того., чтобы L(0 была матрицей Ляпунова, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено хотя бы одно из следующих условий:
1) а = ^ = + оо
2) CL = "б =■ "fc о и существуют такие ненулевые С п »
С22 > что функция
ГГ 4 S
С22](езср J(«i2Cc)-oL, cr))dn)ds-С„ J(eoc.p j(p2W-ftfr))dt)ds
-fco -fco ■fco
ограничена на промежутке [40 , + 00 С
Доказательство. Так как 1ТЦ^<+оо, то на основании леммы 4.2 заключаем, что J2Iij->-oo ; lj-= 1,2 . Тогда
-бц(4), ^21 СО » ^22(0 ограничены тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий: