Задача о фазовых переходах для многофазовых сред

• Автор: Михайлов, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 86 с.

Глава 1.
Постановка задачи.
1.1. Введение.
В диссертации изучаются математические аспекты задачи о равновесии многофазовой упругой среды. Известно, что многофазовые среды характеризуются тем, что их свойства под действием внутренних напряжений или под влиянием или изменением внешних условий (например, температуры) могут скачкообразно изменяться. Когда число таких состояний среды конечно, каждому из них соответствует своя плотность энергии деформации, а всей среде - функционал энергии деформации, равный интегралу от плотности. Состояние многофазовой среды определяется не только полем смещений, но и местоположением каждой из фаз, поэтому искомыми величинами являются как поле смещений, так и характеристические функции множеств, занимаемых каждой фазой. Нужно отметить, что указанный функционал энергии деформации многофазовой упругой среды не является выпуклым и, следовательно, для него могут не существовать состояния равновесия. Существует несколько способов регуляризации функционала энергии, один из них связан с учетом поверхностной энергии. Такой подход с позиции механики очевиден, поскольку появление новых фаз можно представить себе как возникновение большого числа малых зародышей с очень большой суммарной площадью границы, что порождает большие поверхностные энергии даже при незначительном коэффициенте поверхностного натяжения. Важность учета поверхностной энергии отмечена в [1]. В работе использована именно эта регуляризация. Возможны и другие способы регуляризации функционала энергии. Например, с помощью за-

мены плотности на ее слабо полунепрерывную снизу регуляризацию, после чего предметом исследования становятся минимизирующие последовательности нере-гуляризованного функционала, которые слабо сходятся к состоянию равновесия регуляризованного. Такой способ исследовался в работах Г.А. Серегина [2, 3]. Ball J.M., James R.D [4], Kohn R.V. [5] и других авторов. Еще возможен способ, когда рассматривается расширение функционала, позволяющее использовать меры Юнга в качестве предельных точек минимизирующих последовательностей (см. например [6]).
1.2. Постановка задачи.
Пусть fl С Rm — ограниченная область с Лшплицевой границей, вектор-функция и(х) = (иг(х),..., ит[х)) задана на fl, а й — квадратная матрица ее первых производных. Физически это соответствует ситуации, когда упругая среда в неде-формированном состоянии занимает область fl, а после деформации характеризуется полем смещений—вектор-функцией и. В дальнейшем будем рассматривать лишь поля смещений, равные нулю на границе области fl. Но многофазовая среда в отличие от однофазовой может в произвольной точке дискретно менять своё состояние. Каждое из этих состояний имеет свои физические свойства, и ему соответствует своя плотность энергии деформации FT(M, м, х), т — 1,... ,d, где d—количество всевозможных состояний среды. Здесь М G RmXm, и G R, i£fiC Rm. Поэтому многофазовая среда кроме поля смещений и(х) характеризуется местоположением каждой из фаз — попарно дизъюнктными множествами
Функционал энергии деформации для многофазовой (с/ ^ 2) среды имеет вид
где 3м = <9ПД<9П, |5М|— площадь 3**, а > 0— коэффициент поверхностного натяжения, соответствующий среде с индексом р, р, = 1,..., с?.
Для описания допустимых полей смещений фиксируем число р Є (1, оо) и опре-

fiT, где (J fiT = fl.

(1.1)

делим функции /3(£), ^ ^ 0, и а(х), х £ Я, по следующему правилу:

V т > р, где г € [1, тр/(т — р)),
V т = р, где г е [1, оо), ш < р,
где - непрерывная монотонно растущая неотрицательная функция. Знаком [ • | будем обозначать как модуль векторной или скалярной величины, так и норму матрицы.
Везде в дальнейшем будем предполагать, что плотности энергии ЕТ(М, и, ж), т = 1,..., <1, измеримы по совокупности аргументов и удовлетворяют неравенству
с некоторой константой С > 0. Тогда функционал корректно задан на функциях
Для описания допустимых множеств Пт нам потребуется пространство функций ограниченной вариации ВУ{П) (см. [8]). Будем говорить, что функция / £ Х1($7) имеет ограниченную вариацию, если
Борелевское множество Е С Я называется множеством Каччопполи, если его характеристическая функция х € -ВУ(П). Величина /п |Ех1 называется периметром множества Е. Легко видеть, что понятие периметра является обобщением понятия площади для <9Е П П на негладкий случай. Про пространство ВУ{£1) известно, что оно является Банаховым относительно введенной в нем нормы Ц/Цв^п) = Ц/Цхчп) + /1-0/11 а так же оно копмактно вкладывается в £/(й). (Эти свойства
позволят доказать теорему о существовании состояния равновесия при некоторых дополнительных ограничениях па плотности ЕТ(М,и,ж)).
На множестве
|Ет(М,«,ж)|< С[(М|р + /3(М)] + а(ж)
(1.2)

б£,) справедливо неравенство
^(М, и, х, А) > С1Х ( |М* - риг ) - <*ь{х 0 < р < /ГДП);
гь) функции Рт(М,и,х,Х) выпуклы по компонентам матрицы М при всех и 6 К”1, Л € К* и почти всех х € А.
Функционал энергии многофазовой среды зависит от параметров Л £ К* и задается равенством
Л«,Х,<пД = JХ)йх + а)11 Эх% (2.28)

где {«,х} лежит в множестве (1.9), Л € К*) сгд > 0 ц = 1,... , Из теоремы 2.1.1 следует существование для каждых фиксированных А € К* и и = (ах,... ,<7й) состояния равновесия {Йа^,ха,<т} функционала (2.28).
Так же как и в первом пункте параграфа 2.2 рассмотрим функционалы энергии однофазовой среды, имеющие в случае зависимости от параметров А следующий вид
Г[и,]= (Рп(й(х),и(х),х,)<1х, и€^(ПДт), А € Е*. (2.29)

При выполнении условий а£)-гь) функционалы (2.29) достигают при каждом

фиксированном А € К.^ на множестве 1/УА(ПДт) наименьшего значения в некоторых, возможно не единственных, точках йу
Введем в рассмотрение функции следующего вида
А) = 1[и>Х,<7, Д,
{“»Х}
/Т(Л) =шГ/т[«,Л], (2.30)

/(А)= шп{Т(А)}.
т-,.„
Поскольку определение этих функций отличаются лишь множествами, по которым берется инфимум, то справедливо неравенство
/(сг,А) < /(А), А е К*, а = (<ть..., егД > 0. (2.31)
Нас интересует зависимость характера состояния равновесия многофазовой среды от параметров задачи, т.е. мы будем исследовать множества параметров,