Изучение спектральных характеристик одной несамосопряженной задачи с гладкими коэффициентами

• Автор: Гаджиева, Тамила Юсуповна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 117 с.

Содержание
Введение
Глава I. Краевая задача типа Т. Редже, порожденная дифференциальным
уравнением 2л -го порядка в регулярном случае
§1.1. Постановка задачи
§ 1.2. Асимптотические формулы для решений уравнения
/(/) = А2"р(х)Дх)
§ 1.3. Вспомогательные утверждения
§ 1.4. Асимптотика решений для уравнения
(-1)"У2п) + ц(х)у = Л2пр(х)у
§ 1.5. Оценка роста функции Грина задачи Я0 в регулярном случае
§ 1.6. 2л-кратное разложение в равномерно сходящиеся ряды по
собственным функциям краевой задачи Я0 в регулярном случае
Глава II. Изучение спектральных характеристик задачи Я0 в нерегулярном
случае
§ 2.1. Исследование спектра задачи Я0 в нерегулярном случае
§ 2.2. Изучение ядра резольвенты и его оценка в нерегулярном случае...67 стр § 2.3. 2л-кратное разложение в ряд по собственным функциям краевой
задачи Я0 в нерегулярном случае
§ 2.4. Определение вычета ядра резольвенты краевой задачи #0 в случае простого полюса Л = Л0 и доказательство единственности разложений..73 стр Глава III. Оценка нормированных собственных функций задачи Я0 в случае
дифференциального уравнения второго порядка
§ 3.1. Оценка нормированных собственных функций спектральной задачи
Я0 при л = 1 в случае постоянных коэффициентов
§ 3.2. Оценка нормированных собственных функций спектральной задачи
Я0 при л = 1 в случае гладких коэффициентов
Литература

Введение
Пусть на отрезке [0, а] задан линейный дифференциальный оператор
Цх,— ,Я), порожденный обыкновенными дифференциальными

уравнениями, коэффициенты которых зависят от параметра Я. Обозначим для краткости границу отрезка [0, а] через Г и рассмотрим спектральную задачу
Ь(х,—,Я)и-0, 0<х<а (1)

R(x,—,Л)и = 0, хеГ, (2)

В формуле (2) К(х, — ,Я) - некоторый линейный граничный оператор,

также зависящий от параметра Я, представляет собой большой объект исследования.
Поставим задачу определения тех значений параметра Я, при которых задача (1)-(2) имеет нетривиальные решения.
Задача (1)-(2) являлась предметом исследования многих авторов. Отметим, прежде всего, классические работы Г.Д. Биркгофа [1] и Я.Д. Тамар кина [2].
В этих работах была развита техника асимптотического решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, позволяющая в ряде важных случаев исследовать не только спектр (5)-(6), но и изучить вопросы, связанные с разложением произвольных функций в ряды по собственным функциям спектральной задачи (1)-(2).

Фундаментальную роль в изучении спектральных свойств задачи (1)-(2) сыграла работа М.В. Келдыша [3]. В этой работе М.В .Келдыш ввел важнейшее понятие л-кратной полноты системы собственных функций спектральной задачи.
Поскольку из полноты системы собственных и присоединенных функций не следует, вообще говоря, возможность разложения произвольной функции в ряд по этой системе, то условия регулярности Я.Д. Тамаркина [2] являлись наиболее общими условиями, позволяющими получить разложение функций из определенного класса в ряды по фундаментальным функциям спектральной задачи.
Спектральная задача вида (1)-(2) в связи с решением смешанных краевых задач рассматривалась М.Л. Расуловым [4], К.В. Брушлинским [5] и другими авторами. В этих работах налагались такие ограничения на само уравнение и краевые условия, при которых выполнялось условие регулярности Я.Д. Тамаркина.
Замечательным обстоятельством является, однако, тот факт, что многие важные для приложения задачи приводят к спектральным задачам, где условия регулярности Я.Д. Тамаркина заведомо не выполняются. Примером такой задачи является следующая спектральная задача, возникающая в квантовой теории рассеяния:
Эта задача была рассмотрена впервые итальянским физиком Т. Редже [6], который в случае р(х) = 1 показал, что система собственных функций задачи (3)-(4) полна и изучил асимптотику собственных чисел этой задачи.
- у" + д(х)у - Л2р(х)у (0 <х<а)

у(0) = 0, у'{а) - г'Лу(а)

для сектора Тк_х умножением на е ", что соответствует повороту по

часовой стрелке на угол —. Покажем характер изменения нумераций корней при переходе из сектора Т0 в сектор Ту на рисунке.
а) Я є Т0
б) Я є Г|
Рис. 1.
Чтобы получить нумерацию корней иЛ для сектора Т2, корни с

нумерацией для сектора Т0 уже нужно повернуть не на угол — (по

направлению часовой стрелки), как показано на рис. 1, а на угол
Для получения же нумерации корней для сектора Тк, корни с

нумерацией для сектора Т0 нужно повернуть на угол
В самом деле по лемме 1.3.2 при Я&Тк, м>'п - -м>к =е К п 1. Если при переходе из сектора Т0 в сектор 7] один только корень м>'п переходит в верхнюю полуплоскость, то при переходе в сектор Т2 уже 2 корня - и/ и м+1 перейдут, а при переходе в сектор Тк уже к корней: м>'п,