Задачи сопряжения для эволюционных уравнений в банаховых пространствах

• Автор: Новикова, Людмила Вадимовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 128 c. : ил

Глава I. Линеаризация задачи сопряжения для бесконечномерных эволюционных уравнений в банаховых пространствах с абсолютным базисом

§1. Аналитические операторы

§2. Нормализующие преобразования Пуанкаре

§3. Метод ускоренной сходимости

§4. Особенности бесконечномерного случая

§5. Функциональное пространство

§5. Линейные нормализующие преобразования для одного

класса нелинейных операторов в пространстве

§7. Эволюционные уравнения в пространствах с базисом

Глава 11.0 приводимости бесконечномерных нелинейных уравнений

к линейной нормальной форме в пространствах IV

§8. Линейные нормализующие преобразования в пространствах Соболева
§9. Интегрируемость нелинейных эволюционных уравнений в
пространстве V
Глава III. 0 нормальной форме нелинейных эволюционных уравнений в алгебре $ комплекснозначных функций на вещественной оси
§10. Функциональное пространство &
§11. Нормальные формы нелинейных операторов в.пространстве &
§12. Интегрируемость бесконечномерных эволюционных уравнений в частных производных на вещественной

Литература

В настоящей работе при помощи метода нормальных форм Пуанкаре исследуются задачи линеаризации нелинейных операторов в банаховых пространствах в окрестности неподвижной точки,а также задачи линеаризации нелинейных эволюционных уравнений в окрестности стационарного решения.Основной результат данной работы составляет бесконечномерный аналог известной теоремы К.Л.Зигеля о линеаризации конформного отображения в окрестности неподвижной точки [а]. Доказанная теорема применяется затем к задаче линеаризации оператора сдвига по траекториям эволюционных уравнений в окрестности положения равновесия в банаховых пространствах.
Теория нормальных форм Пуанкаре является основным методом локальной теории дифференциальных уравнений,позволяющим исследовать поведение фазовых кривых в окрестности особой точки при помощи приведения дифференциальных уравнений к канонической нормальной форме.Теорию нормальных форм дифференциальных уравнений можно вывести из теории нормальных форм диффеоморфизмов в окрестности неподвижной точки.Метод нормальных форм Пуанкаре позволяет при помощи подходящего выбора системы координат в окрестности особой точки дифференциального уравнения / неподвижной точки отображения / уничтожать нерезонансные составляющие нелинейной части дифференциального уравнения / отображения /.В частном случае,в отсутствие резонансов,для дифференциального уравнения / отображения / удаётся выписать формальную замену переменных,приводящую дифференциальное уравнение / отображение / к своей линейной части.В теоремах Пуанкаре [ I и Зигеля [12] для обыкновенных дифференциальных уравнений даются условия,обосновывающие сходимость рядов формальной замены переменных.Условия расходимости радов (формальной

замены переменных исследованы в работах А.Д.Брюно £ 25-29_]
В конечномерном случае оказательство теоремы К.Л.Зигеля для отображений впервые дано В.И.Арнольдом £1]]
Работы Е.Хопфа [_14^| и Дж.Коула [_15] , в которых при отыскании линеаризующей подстановки для уравнения Бюргерса использовался метод замен переменных, лежащий в основе теории нормальных форм, стимулировали поиски аналогичной линеаризующей подстановки для произвольного эволюционного уравнения.
Задачи интегрируемости бесконечномерных эволюционных уравнений с точки зрения теории нормальных форм Пуанкаре впервые были рассмотрены Н.В.Николенко [_ 18-23^] .Н.В.Николенко рассмотрел уравне-

= фи ■+ ф(и) а
где И -элемент гильбертова пространства Ц , сД~ , вообще говоря, неограниченный линейный оператор с плотной областью определения , Ф - нелинейный оператор, аналитический по Фреше в окрестности нуля в и > удовлетворяющий некоторым условиям согласованности с оператором сР , и дал достаточные условия линеаризации уравнения /I/ в окрестности нулевого стационарного решения, а также доказал существование нормализующего преобразования для нелинейного уравнения Шрёдингера и для уравнения теплопроводности с нелинейными источниками тепла.
В настоящей работе условия линеаризации уравнения /I/ даются при менее жестких условиях на нелинейную составляющую (р в дополнительном ограничении, что оператор сР - унитарный, при этом доказывается, что обобщенные решения исходного уравнения /I/ с начальными данными из окрестности нуля в [С переходят в обобщенные решения соответствующего линейного уравнения. Заметим, однако,

11£Цын-ач)9) .
Доказательство. Оценим,учитывая лемму 6
// VI! ь а+з) е) Ціґц ь г
^ -#к^> И РЦ -у- Ц 'Ц ° (V) Ц г-
// *Н/ 6 2//- П+3)6) ЦчЩь г (і- 0*3) &)
^ ь['{-(з+з)&) + — ^ ъ( 4-{$+&)&)
Отметим, что здесь мы взяли
,что и подавно
выполняется,если по условию выполняются неравенства /6.9/.
Итак,утверждение I/ леммы доказано.
Утверждение 2/ леммы уже доказано выкладками /6.11
6.7. Лемма 6.6. Если £ и ^ удовлетворяют неравенствам /6.9/, то отображение
определено при М г(4-(з+3)&) и справедлива оценка
/6.13
ЦР'Ц 4* г[)'Ыз)9)
Доказательство. Пусть
тогда,по лемме 6.5 при отображениям Но шар Цр-Ц и х,(4-($+3)&) переходит внутрь шара Ц£// Положив