Регуляризованный след оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости

• Автор: Торшина, Ольга Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Магнитогорск
• Количество страниц: 115 с. : ил.

Введение 3 -

1 Оператор Лапласа — Бельтрами. Функции Лежандра

1.1 Дифференцируемые многообразия

1.2 Дифференциальные формы

1.3 Оператор Лапласа-Бельтрами

1.4 Регуляризованный след оператора

Лапласа - Бельтрами на сфере

2 Проблема сложения четных сферических гармоник

2.1 Теорема сложения

2.2 Оценки числовых рядов

3 Регуляризованный след оператора Лапласа — Бельтрами

с потенциалом на проективной плоскости
3.1 Вычисление второй поправки теории возмущений на проективной плоскости
3.2 Вычисление третьей и четвертой поправок теории возмущений на проективной плоскости
3.3 Вычисление регуляризованного следа оператора ЛапласаБельтрами
Литература

Постановка задачи
Рассмотрим оператор Лапласа - Бельтрами Т = — А, действующий в гильбертовом сепарабельном пространстве Н, взятом с плотностью sinQdQdp {в, ip — сферические координаты). Как известно, An = п(п + 1) (п = 0, оо) являются собственными числами оператора Т. Обозначим через Vnti (і = 0,2n,n = 0, оо) ортонормированные собственные функции оператора Т, которые соответствуют собственным числам Ап. Введем семейство прямых /„ = {А|А = An + п + 1 + ip, —оо < р < оо}, параллельных мнимой оси гауссовой плоскости. Пусть Р — оператор умножения на функцию р Є C2(W), W = (0,7г) х (0,2п). Известно [70], что если оператор Р является ограниченным и dn = inf |Am — An| —> 0,

то можно так занумеровать собственные числа рп<г оператора Т + Р, взятые с учетом алгебраической кратности, что справедливо
|^п,і — п(п + 1)| < const. (0.1)
Регуллризованным следом первого порядка оператора Т4-Р назовем равенство вида
оо оо
Е<Е Pn,i~An(T)} = B(T),
ті— 1 г
где Ап(Т), В(Т) явно определяются через характеристики оператора выражения.
В научной литературе вопросы нахождения регуляризованных следов эллиптических дифференциальных операторов с потенциалом на проективной плоскости до настоящего времени не обсуждались. В связи с этим вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа -Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости представляет научный интерес. Такое исследование требует доказательства теоремы сложения для четных сферических гармоник и ряда промежуточных лемм, открывающих путь к вычислению поправок теории возмущений с последующим выходом на формулу регуляризованного следа эллиптического дифференциального оператора.
Обоснование интереса к проблеме
Спектральная теория дифференциальных операторов является важным разделом общей спектральной теории и активно разрабатывается различными математическими школами, прежде всего московской школой под руководством В. А. Садовничего. Только в последние годы учеными представлены формулы первого регуляризованного следа для дискретных операторов [90], регуляризованные следы одного класса сингулярных операторов [64], регуляризованные следы несамосопряженных дискретных операторов с неядерной резольвентой [75], формулы следа М. Г. Крейна на случай возмущения типа Гильберта - Шмидта [126], [106], регуляризованный след операторного уравнения Штурма
I = 1(тос1 2),
соб(1Ф) П ргр, I = 0(тос1 2) к
О, I = 1(тос1 2),
соя(11р), I : 0(тос1 2),

Дг (вт/^)

7г т | ~2~

к—О^кфт
ТП*
-к2
£ П

Бт(1(р)
Тогда
т=0(тос1 2) к=0,к^т
О, I = 1(тос1 2),
вт(1<р) П рзр, I = 0(тос1 2)

О, I = 1(тос1 2),
ят(1<р), I = 0(тос1 2).
(п-1)
Х^"'^ = 2Х Т7ГХ ж РП } (с°5 б)рп } (с°8 й') С°8(;У) СОВ(;у') = г=о г=о г'
= X л л!1 П1 Рп](СО!5в)Рп}(С05в')+ ¥>') + соэ/(^ - <р% ^0Чп + 1)
Делая замену переменного <р' 2тг — <р'у получим
со81(/р + Поэтому
X Уп1У'*1 = 2 X $ + П! Р"} ^ ’1 (сов ^ 008
1=0 1=0 1' >'