Задачи импульсного управления при эллипсоидальных ограничениях на импульсы

• Автор: Вздорнова, Оксана Георгиевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 122 с. : ил.

Основные обозначения

ГЛАВА 1. ЗАДАЧА ИМПУЛЬСНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

§1.1 Постановка задачи и основные определения

§1.2 Условия разрешимости задачи

§1.3 Свойства множеств достижимости импульсной системы

§1.4 Принцип максимума в задаче импульсного управления

§1.5 Оптимизация при "двойном" ограничении на импульсы

§1.6 Примеры

ГЛАВА 2. ВНЕШНИЕ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ МНОЖЕСТВ ДОСТИЖИМОСТИ ИМПУЛЬСНОЙ СИСТЕМЫ

§2.1 Постановка задачи

§2.2 Первый метод оценивания

§2.3 Второй метод оценивания
§2.4 Построение е-оценок областей достижимости
§2.5 Об одном предельном свойстве
Список литературы

В настоящее время математический аппарат решения задач теории управления детерминированными системами, изменение состояний которых во времени описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, хорошо разработан. К фундаментальным результатам, полученным в этой области теории управления, можно отнести принцип максимума Л.С. Понтрягина, теорию необходимых и достаточных условий оптимальности, теоремы об условиях существования оптимальных управляющих воздействий, теорию линейных систем, исследование свойств управляемости, теорию гарантированного оценивания.
Одним из важных разделов динамической оптимизации является исследование задач оптимального импульсного управления, где изучаются динамические процессы с разрывными траекториями и обобщенными управлениями импульсного типа — векторными мерами и другими распределениями (обобщенными функциями).
Многие задачи оптимального управления, первоначально поставленные как классические, не имеют решения в традиционном классе абсолютно непрерывных траекторий и измеримых управлений. Если в классической задаче оптимального управления множество допустимых значений управления неограничено, то в общем случае нельзя ожидать, что задача оптимизации имеет решение в классе обычных управлений с непрерывными траекториями. При этом основное условие оптимальности - принцип максимума - в своей классической форме оказывается неприменим - ведь он требует, чтобы оптимальное управление существовало. Поскольку траекторные компоненты минимизирующих последовательностей в таких нерегулярных, вырожденных задачах сходятся к разрывным функциям, а управляющие функции характеризуются наличием дельтообразных составляющих и сходятся в смысле распределений, то возникает проблема расширения этого

класса задач, направленная на включение предельных элементов в множество допустимых процессов. На этом пути и возникают задачи импульсного оптимального управления.
Помимо этого, важным стимулом для развития теории импульсного управления является моделирование процессов, управление которыми осуществляется в течение столь кратковременных промежутков, что их можно идеализировать как мгновенные, а результаты воздействия приводят к быстрому изменению процесса — скачкам фазовой траектории моделируемой системы. Формализация таких процессов невозможна без перехода к управлениям импульсного типа и динамическим системам с разрывными траекториями. Важные примеры подобных ситуаций можно найти в механике, ракетодинамике (одной из первых задач является известная задача Лоудена о переводе космического корабля с одной орбиты на другую при минимальном количестве топлива), квантовой электронике (лазерное излучение является импульсным по своей природе), робототехнике, медио-терапии, математической экологии и экономике и т.д.
В становление и развитие теории оптимального импульсного управления важнейший вклад внесли работы H.H. Красовского, А.Б. Куржан-ского, А.Г. Ченцова, А. Брессана, Дж. Варги, Р. Винтера, В.И. Гурмана, В.А. Дыхты, С.Т. Завалищина, А.Д. Иоффе, Г.А. Колокольниковой, Б.М. Миллера, Ю.В. Орлова, Ф. Перейры, Ф. Рампаццо, Р. Ришела, Р. Ро-кафеллара, А.Н. Сесекина, В.М. Тихомирова, Т.Ф. Филипповой и др.
Вопросам оптимизации динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с управляющими функциями импульсного типа, посвящено большое число исследований, в том числе [26, 37, 42, 54, 60] (см. также библиографию к указанным работам). Одним из центральных вопросов математической теории управления динамическими системами является проблема построения множества достижимости системы, то есть построения множества тех состояний фазового пространства, куда фазо-

причем из непрерывности у{£] следует непрерывность по £ полученной функции /о(і) [67]. Следовательно, для указанной непрерывной функции /о(-) Є £ верно равенство (1.5.5). Отметим здесь, что при каждом і вектор —/о(і) является метрической проекцией у{£) на £0. Таким образом, инфи-мальная конволюция точна. Теорема доказана.
Условие (1.4.6) теоремы 1.4.2 принимает вид
maxi— inf {a max II — l'X(T,t)B(t) — /(0L-i f(-)ec» fe[o,T]
+ max \f{t)Ql||2} + g{l)} = 0.
Рассмотрим для каждого к > 0 семейство множеств
= {/ 6 C“ I max ||/'(()<э|||2 = к].
(1.5.6)
Заметим, что и Ск — С. Тогда условие разрешимости можно записать к
в следующем виде
max {- inf { inf {аф(к, f) + к}} + g(l)} = 0,
г: IWN fce[o,cx>) L/(-)eC'-,
Отметим, что для нахождения инфимума по к > 0 достаточно ограничиться случаем 0 < к < m&x(y'(t)Qoy(t))^, где y'(t) = l!X(T,t)B(t). Тогда
te[o,T)
для нахождения внутренней операция inf необходимо в каждый момент
f£ck
времени t найти метрическую проекцию вектора y'(t) = l'X(T,t)B(t) на множество
Wt = {6€ir |||6'$||2<*;},
или, иначе,
Wk = {b Є Шт I b'Qob < к2}.