Экстремальные оценки минимального собственного значения задачи Штурма - Лиувилля

• Автор: Ежак, Светлана Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с.

Глава
Глава
Библиография

Вопрос оптимизации собственных значений задачи Штурма - Лиувилля за счет выбора потенциала из некоторого фиксированного класса функций часто возникает в приложениях. Например, в теории упругости в процессе поиска наиболее прочных конструкций из данного материала. Примером такой задачи является задача Лагранжа о нахождении наиболее прочной колонны единичной длины и единичного объема, являющейся телом вращения плоской кривой.
Задача Лагранжа продолжает вызывать интерес исследователей и оживленную полемику в научной печати. Она послужила источником для различных постановок экстремальных задач на собственные значения, в том числе — с интегральным условием на потенциал, одной из которых является задача, рассматриваемая в данной работе. В связи с этим приведем физическую постановку задачи Лагранжа и исторический обзор результатов, полученных в процессе ее исследования (см., например, [27]).
В 1773 году, развивая работы Л. Эйлера [33] об устойчивости упругих стержней, Ж.-Л. Лагранж [15] поставил задачу об оптимальной форме колонны, нагруженной продольной силой Р:
найти форму колонны (упругого тела вращения), мак-

симизирующую критерий "прочности ", т. е. доставляющею
где Рс - критическая сила потери устойчивости, а V -объем колонны.
Потеря устойчивости колонны описывается известными уравнениями изгиба тонких стержней Бернулли - Эйлера (гравитационные силы не учитываются)
где у(х) - функция прогиба, Е - модуль Юнга, 1(х) = тгЯа(х)/4 - момент инерции стержня круглого сечения радиуса Л, штрихи обозначают дифференцирование по х.
Ж.-Л. Лагранж рассматривал условия шарнирного опирання колонны на обоих концах:
1/(0) = „ = 0, уЩ = (£//)„£ = 0. (0.3)
где А{х) — ттЛ2(х) - площадь поперечного сечения. Для удобства введем безразмерные переменные
шах—г

V2’
(0.1)
(Е1у")" + Ру" = 0, 0 < х < Ь. (0.2)
Объем колонны описывается интегралом

(0.4)

(0.5)
_ АпРЬа
~ЁУ2~'
чи (2.1), (2.2), (2.3) рассмотрим функционал

f y'2(x)dx — f Q(x)y2(x)dx
R[Q,y=° j—2 . (2.4)
f y2(x)dx
Согласно вариационному принципу
Пусть
Ai = inf R[Q,y}.
у(х)&Щ( 0,1)
ma = inf Ai, Ma — sup Ai,
Q(x)eAa Q(x)eAa
где Aa - множество неотрицательных ограниченных на

[0,1] функций таких, что J Qa{x)dx = 1.

Теорема 2. Если а > 1, то та = const > 0;
Ма = 7г2, причем существуют такие функции и(х) € 1) и Q(x) 6 Аа, что
inf R[Q, у] = R[Q, и] = та. у(х)еЩ{ од)
Если а = 1, mo mi есть решение уравнения 2/А = tg Mi = я2, причем т достигается на
функции Q(x) = 5 (х — |).
Если 0 < а < 1/3, то та = — оо, Ма - const < я2.
Если 1/3 < о: < 1/2, то та — —оо, Ма < л2.
Если 1/2 < а < 1, то та = —оо, Ма = 7г2.
Если а < 0, то та = — оо, Ма = corzsi < 7Г2, причем
существуют такие функции и(х) € Щ(0,1) и