Точные границы показателей Ляпунова линейных двумерных систем с ограниченными возмущениями

• Автор: Сурков, Александр Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Минск
• Количество страниц: 120 c. : ил

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

ГЛАВА I. Точные границы старшего и младшего характеристических показателей

§ I. Вспомогательные утверждения

§ 2. Точные верхняя и нижняя границы множества

характеристических показателей

§ 3. Точные нижняя и верхняя границы старшего

и младшего характеристических показателей

§ 4. Точные границы характеристических показателей линейных систем с ограниченными возмущениями

одного класса

ГЛАВА 2. Спектральное множество линейных двумерных

систем
§ I. Леммы о матрице монодромии периодической
системы
§ 2. Спектральное множество периодических систем
§ 3. Теоремы о спектральном множестве
ЛИТЕРАТУРА

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Ж - множество целых чисел;

Ц - евклидово п - мерное пространство;
(1г(Н) - множество всех постоянных, вещественных
2*2- матриц;
£; - единичная матрица из ПЛН);
$р А = * ^2 - след матрицы А-«ич)еПк1ЯУ,
АТ - транспонированная матрица А ",
= 1), 0.г=^{-1 1 )> 03 ~
/ - замыкание множества /С
° >, оп
у - внутренность множества /с /[ ;
/ - замкнутая выпуклая оболочка множества /сЯ ;
<•,•> - скалярное произведение в К'// - символ для обозначения нормы.

Рассматривается семейство всех линейных двумерных систем
х = АО)х,хе/Г,t»o, (°-i)
с штрицами коэффициентов А = (°tij )е Л1{со)р где М(ш) - множество кусочно-непрерывных матричных функций лт , принимающих значения из некоторого ограниченного множества СО С Через СО будем также обозначать множество всех постоянных матриц из . Пусть Х,(А)*К(А) - показатели Ляпунова
[*7, с. 27; I, с. 17J системы (0.1).
Диссертация посвящена отысканию точных верхней
X ”“*(w)=sup X,- if)
АеМ(со)
и нижней
границ каждого из показателей Д (A системы
(0.1), а также построению спектрального множества
ё(ш>= {(Xmh, jA))-.Aeh рассматриваемого семейства систем.
Остановимся на работах, к которым имеет непосредственное отношение рассматриваемая диссертация.
Задача абсолютной устойчивости (см., например, обзор E.G.Пятницкого [ IIJ )/? -мерной системы автоматического регулирования
х ~ Ах + S чр(6,*)>

max . л max
1 р тах
В случае невыполнения неравенства Лг (со) (со)

заведдивости условия Уг очевидно, можно выбрать из (О
и справедливости условия ?ßax(CO) - ßz (со ) матрицу А
, таге л max Л ^ max
Если же выполняется условие Az (Co)-Jz (*o)>Yz (со), то найдется матрица А„ £ со } дщЯ которой имеет место соотношение 2 (Ао)~ fz С со) . Аналогично доказательству теоремы I.2.I показывается вещественность собственных чисел матрицы Аа и справедливость неравенства Л* (А0)У 2(Ао) . А построение матрицы /4 полностью совпадает с построением матрицы і в доказательстве теоремы I.2.1, где было показано, что одно из реЛ л, ртах ptnax «
ШЄНИЙ системы (І.І.І) С п- /1 и / 6 (Jz (CO),Jz (со))
имеет положительный показатель, то есть имеет место неравенство

2 (А )>Х ( g силу произвольности числа X 6 (Х2 Ссо) ,

jz (со)) неравенство (1.3.3) можно считать выполненным.
Если для любого £ > О не найдется такой периодической матрицы А € А1((о) t чтобы наряду с неравенством (1.3.3) выполнялось и условие
Хх (А*) < К (А )> (1.з.4)
то требуемое равенство, очевидно, будет доказано. Поэтому пусть для матрицы А выполняются неравенства (1.3.3), (1.3.4). Из условия (1.3.4) следует, что мультипликаторы [2, с. 185] системы (1.0.1) с матрицей As А являются вещественными. Без ограничения общности считаем их положительными, ибо в противном случае матрицу А* с периодом Т можно рассматривать как матрицу с периодом lT и положительность мультипликаторов системы (1.0.1) с такой матрицей очевидна. Таким образом, матрица монодромии Х(П системы (1.0.1) с А = А имеет два различных собственных вектора /)к ^ , отвечающих соответ-