Задачи для параболо-гиперболических уравнений и соответствующие спектральные вопросы с параметром в граничных точках

• Автор: Капустин, Николай Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 172 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с волновым оператором в гиперболической части

§1. Априорная оценка для классического решения

§2. О существовании и единственности классического

решения

§3. Об однозначной обобщенной разрешимости в классе Ь

§4. Изучение задачи Трикоми спектральным методом

§5. О классической задаче с коэффициентом и спектральным

параметром в граничном условии, возникающей в

теории задачи Трикоми

Глава 2. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью
§1. Определения. Некоторые свойства пространства
допустимых функций
§2. Априорная оценка для классического решения
§3. О существовании и единственности классического
решения
§4. Об однозначной обобщенной разрешимости в классе Ь

Глава 3. Задача с квадратом спектрального параметра в граничном условии и задача со спектральным параметром в двух граничных условиях
§1. Построение биортогонально сопряженной системы для задачи с квадратом спектрального
параметра в граничном условии
§2. О равномерной сходимости ряда Фурье для задачи с квадратом спектрального
параметра в граничном условии
§3. О спектральной задаче из математической модели крутильных колебаний стержня
со шкивами на концах
Глава 4. Об одной смешанной задаче для уравнения теплопроводности со смешанной производной в граничном условии
§1. О спектральной задаче, возникающей при решении смешанной задачи со смешанной
производной
§2. О корректности смешанной задачи со
смешанной производной
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы диссертации. Исторически, первые глубокие исследования в области уравнений смешанного типа появились в двадцатые годы двадцатого века. Ф.Трикоми [208,190] для эллиптико-гиперболического уравнения рассмотрел краевую задачу, которая сейчас называется задачей Трикоми для уравнения Трикоми. Затем С.Геллерстедт [202,203] исследовал обобщения задачи Трикоми для более общих уравнений эллиптико-гиперболического типа.
Новым этапом в развитии теории краевых задач для уравнений смешанного типа явились работы М.А.Лаврентьева [124], Ф.И.Франкля [193], И.Н.Векуа [38], А.В.Бицадзе [34,35], Л.В.Овсянникова [157], К.И.Бабенко [27]. В этих работах указывалось на актуальность задач для уравнений эллиптико-гиперболического типа в связи с трансзвуковой газовой динамикой, теорией магнитодинамических течений, теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей. Появились, также, работы по изучению краевых задач для параболо-гиперболических уравнений. Исследования в области теории уравнений смешанного типа стали проводиться не только по вопросам классической разрешимости краевых задач, но и по вопросам обобщенной разрешимости в различных функциональных классах, а также было начато активное изучение задач с нелокальными граничными условиями.
Уравнения смешанного параболо-гиперболического типа возникают при математическом моделировании различных процессов естествознания, например, при изучении движения газа или малосжимаемой жидкости в канале, окруженном пористой средой. В канале газодинами-

ГЛАВА 1. ЗАДАЧА ТРИКОМИ ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ВОЛНОВЫМ ОПЕРАТОРОМ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЧАСТИ
§1. Априорная оценка для классического решения.
Пусть область В представляет собой объединение треугольника с вершинами в точках А(0,0), С( 1/2, —1/2). В( 1, 0), квадрата В+ с вершинами в точках А, М(0,1), N(1,1), В и интервала АВ.
Определение 1.1. Под классическим решением задачи Трикоми для уравнения
ихх(х, у) - иуу(х, у) = д(х, у), у < 0,
(1.1)
их(х, у) - иуу(х, у) = д(х, у), у >
будем понимать функцию и(х, у) из класса С(В) НСДО) ПС'1,2(1)+) П С2(В~), являющуюся решением уравнения (1.1) в областях В+, В~ и удовлетворяющую граничным условиям
и{х,у)сл = Ф(у), и{х,у)Ам = /(у), и(х,у)^ = Ф(х). (1.2)