Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных систем при специальных возмущениях

• Автор: Сурин, Татьяна Леонидовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Минск
• Количество страниц: 119 c. : ил

Список обозначений

Глава I. Асимптотические свойства систем ЛаппоДанилевского

§ І.І. Общие сведения о системах Лаппо-Данилевского

§ 1.2. Показатели систем с функционально-коммутативной матрицей коэффициентов

§ 1.3. Показатели систем Лаппо-Данилевского с консервативной матрицей коэффициентов
§ 1.4. Приводимость правильных систем Лаппо-Данилевского к блочно-диагональному виду

§ 1.5. Правильные системы Лаппо-Данилевского

Глава 2. - возмущения линейных дифференциальных

систем

§ 2.1. Неустойчивость показателей правильных линейных

систем при -возмущениях

§ 2.2. Асимптотические инварианты систем ЛаппоДанилевского при 4^ -возмущениях
§ 2.3. Влияние замены времени на показатели Ляпунова
линейных дифференциальных систем
§ 2.4. Построение -возмущений, сохраняющих правильность линейных дифференциальных систем
Литература

Многие задачи автоматики и телемеханики, теории колебаний и небесной механики приводят к исследованию систем дифференциальных уравнений с ведущей линейной частью. Одной из основных целей исследования таких систем является изучение асимптотического поведения их решений.
В основе современной асимптотической теории линейных дифференциальных систем лежат исследования А.М.Ляпунова, изложенные в его монографии "Общая задача об устойчивости движения".
В этой работе А.М.Ляпуновым разработаны два метода исследования систем дифференциальных уравнений: первый или асимптотический метод Ляпунова и второй или прямой метод Ляпунова.
В основе первого метода Ляпунова лежит понятие характеристического числа. Характеристические числа ( в последнее время чаще привлекаются показатели Ляпунова, которые равны характеристическим числам, взятым с противоположным знаком) используются для выявления асимптотического поведения решений линейных дифференциальных систем. Линейная система не может иметь более п. ненулевых решений с попарно различными показателями [51, с.34] . Фундаментальная система решений линейной системы называется нормальной [ 51, с.34] , если сумма показателей ее решений минимальна во множестве всех фундаментальных систем. Показатели X,, ^ Хп. нормальной упорядоченной
системы называют показателями Ляпунова линейной системы или спектром системы. Спектром системы полностью определяется асимптотический характер семейства решений данной системы в смысле установления экспоненциальной устойчивости.

Особый интерес представляет задача нахождения и изучения поведения показателей Ляпунова непосредственно по коэффициентам системы (без построения ее решений). Если исходная линейная система стационарна, то показатели системы равны действительным частям собственных значений матрицы коэффициентов. Если же система не стационарна, то такой связи между показателями Ляпунова и собственными значениями матрицы коэффициентов, вообще говоря, не существует и задача вычисления показателей намного усложняется. В работах [6, 8"] получены формулы, позволяющие выражать показатели линейной системы через ее коэффициенты и указаны возмущения системы, не меняющие ее показателей, но практическое применение этих формул затруднено их сложностью и наличием многих предельных переходов.
Основные сведения по теории показателей Ляпунова содержатся в монографии [23*}, в обзоре [47] , а также в циклах работ
В.М.Миллионщикова, Б.Ф.Былова, Н.А.Изобова и др. (см. напр.,
[18, 24-25, 48, 56-58] ).
Ю.С.Богдановым описан способ распространения метода характеристических чисел Ляпунова на системы с ведущей нелинейной частью [Ю-П, 13-15]
Показатели Ляпунова, а также другие асимптотические характеристики линейных систем являются инвариантами преобразования Ляпунова [ 51, с.42]| , т.е, преобразования вида X - Ь
где матрица ("Ь) удовлетворяет условиям
*чр1Щ-Ь)11 < + ||/-Г10:)|1 <-+
•Ье[0, + с=о[ ц.€[р)+с^[

причем

и” /4« и - и-1 = Аг = (а‘"(0)
имеет следующую структуру
П, О'
іП-о.
А., (і)
Ц(о) - преобразование Ляпунова, следовательно, треугольная сие-тема (1.46) правильная, поскольку правильная система (1.45), и ее показатели равны ^ (і, - і/0 * критбР1® Ляпунова [бі, с.зэ] существуют точные средние значения диагональных элементов матрицы
АгЮи
к.а(тіаг = Хр. .ще рівК-лі.
£ схэ Х Г с 1 и
Известно, что действительное унитарное преобразование не меняет следа матрицы, значит
ЗрА“М = А, (Ч и-л),
І -ые диагональные блоки матриц АД-Й и Аа.(Й • Как показано в лемме 1

t (-1) т
і $*. ^ = 1 А " ^ Х; •
Следовательно,
А [
. л г*-
—■ ( £р А:. С*0
ь^оо -ь ^ г к

1ЛА.
-Ь “*»
г Ь (11 ,
4. А,..(т:)с|г =
']Ъо г
= пі л<і