Краевые задачи для параболических уравнений с разрывными коэффициентами

• Автор: Шарин, Евгений Федорович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 118 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
§1.1 Соболевские, Гельдеровские пространства
§1.2 Некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений
§1.3 Некоторые вспомогательные теоремы из теории нелокальных
и обратных задач
2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§2.1 Уравнение второго порядка с разрывными коэффициентами с
полной матрицей условий склеивания
§2.2 Безусловная разрешимость при а12 ф
§2.3 Уравнение 2п-го порядка с разрывными коэффициентами
§2.4 Уравнение второго порядка с меняющимся направлением времени
3. НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА И СВЯЗАННАЯ С НЕЙ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§3.1 Нелокальная задача дифракции
§3.2 Обратная коэффициентная задача
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Изучение краевых задач для параболических уравнений является одной из классических проблем теории дифференциальных уравнений с частными производными и вызывает постоянный интерес математиков. Причиной этому, по-видимому, является, с одной стороны, исключительная практическая важность параболических уравнений, а с другой — то, что их исследование связано с развитием различных разделов математики: теории рядов и интегралов, функционального анализа, теории приближений, теории вероятностей и случайных процессов.
К параболическим уравнениям и системам уравнений приводит математическое описание многих сложных явлений в современном естествознании, экономике и технике. Кроме классических задач теплопроводности и диффузии, параболические уравнения и системы встречаются, например, в теории тепло- и массопереноса при описании процессов сушки и охлаждения, в теории ядерных цепных реакций при изучении процесса замедления нейтронов, в теории сигналов при макроскопическом описании случайного процесса па выходе радиотехнического устройства, при изучении многих процессов в химической и биологической кинетике и в других задачах (об этом см. [72, 36] и приведенную там литературу).
Краевые задачи с негладкими коэффициентами для дифференциального уравнения второго порядка параболического типа являются одним из классических объектов исследования. Теории таких задач посвящена, например, монография O.A. Ладыженской [67].
Настоящая работа посвящена исследованию разрешимости краевых задач для некоторых специальных классов параболических уравнений с разрывными коэффициентами.
Краевые задачи для уравнений с разрывными коэффициентами были пред-
метом исследований в работах O.A. Олейник [86, 87]. В указанных работах рассмотрены первая краевая задача и задача Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка и первая краевая задача и задача Коши для общего параболического уравнения с разрывными коэффициентами, причем поверхности разрывов коэффициентов параболического уравнения могут зависеть от времени. Решение этих задач для уравнений с разрывными коэффициентами получены как предел решений соответствующих задач для уравнений с гладкими коэффициентами, приближающимися к заданным разрывным.
Использование интегральных априорных оценок решений эллиптических и параболических уравнений и применение теорем вложения С.М. Никольского позволяют рассмотреть эти задачи в общем виде.
В дальнейшем, решению различных краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами были посвящены работы Я.А. Ройтберга, З.Г. Шефтеля [126, 147], H.H. Уралыдевой [139], А.Х. Гудиева [28], Ю.А. Ал-хутова, И.Т. Мамедова [4] и других. В работах [126, 147] изучались граничные задачи для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами, доказаны теоремы существования и единственности при выполнении некоторых условий, налагаемых на правые части.
Из последних работ, посвященных исследованиям разрешимости краевых задач для уравнений с разрывными коэффициентами, хотелось бы отметить работы И.Х. Керефовой [52], А.Р. Алиева [3], М.Ф. Чсреповой [141, 142], Э.А. Гасымова [26].
Ранее, в работах [154, 159, 161. 173, 56, 190, 134] были изучены корректные краевые задачи для модельных уравнений вида
Bui = Lu + f, te(0,T), (Т < оо), (1)
где В, L линейные операторы, действующие в комплексном гильбертовом пространстве Е со скалярным произведением (•,-). При исследовании во-

2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫ^ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§2.1 Уравнение второго порядка с разрывными коэффицие^5тами с полной матрицей условий склеивания
Постановка задачи. Пусть <3 = Пх(0,Т), гдеП = Ж, <д± = П±>< (0 х) П+ = П П {х > 0} и Г2~ =ОП{кО}.В области С} рассмотрим уравнение
/(х)щ = ихх. (2.1.1)
Пусть в уравнении (2.1.1) функция /(ж) = А, х > 0 и /'(ж) = В , ж < О
где А, В - положительные постоянные. Известно [69], что решение Уравнения (2.1.1) в классе ограниченных функций будет единственным при выполнении начальных условий
и(х, 0) = (х), х е Г2+,
и(х, 0) = <£>2 (ж) , X 6 (2-1-2)
и условий непрерывности производных до 1-го порядка.
В данной главе рассматривается общий случай полной матрицы условий сопряжения потоков:
(2.1.3)
и(+ОД) / ац а12 / и(—ОД)
гД+ОД) у у 021 «22 / у о, г)
где ау- — элементы невырожденной матрицы .
Решение краевой задачи (2.1.1)—(2.1.3) ищется из пространства Гельдера ЯДДсД), р = 2/ + 7, 0<7<1ф>1- целое число.
Теорема 1. Пусть <р(х) е НР(П+), <р2(ж) С ЯР(П~) и выполнены следу ющие условия: