Глобальная разрешимость краевых задач для квазилинейных неравномерно параболических и эллиптических уравнений

• Автор: Терсенов, Алкис Саввич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 209 с.

Г Л А В А I. Оценка решения и теорема единственности

для задачи Дирихле

§ 1 О превентивной роли градиентного члена

§ 2 О стационарной задаче

§ 3 О превентивной роли диффузии

§ 4 Стационарный случай

§ 5 Примеры

§ 6 Теорема единственности для параболических уравнений

§ 7 Теорема единственности для эллиптических уравнений

Г Л А В А II. Квазилинейные параболические уравнения

с двумя независимыми переменными

§ 1 Оценка градиента решения задачи Неймана и третьей
краевой задачи
§ 2 Оценка градиента решения задачи Дирихле
§ 3 Теоремы существования
§ 4 Примеры
§ 5 Примеры неравномерно параболических и
вырождающихся уравнений
§ 6 Поведение решения при неограниченном
возрастании времени
ГЛАВА III. Радиально симметричный случай
§ 1 Сведение к одномерной задаче
§ 2 Оценка градиента
§ 3 Теоремы существования
§ 4 Примеры

ГЛАВА IV. Многомерные квазилинейные параболические и эллиптические уравнения
§ 1 Гельдерова непрерывность решения по времени
§ 2 Граничная оценка градиента решения задачи Дирихле
§ 3 Глобальная оценка градиента
§ 4 Другие краевые задачи и задача Коши
§ 5 Оценка градиента в норме С“/2'“
§ 6 Примеры
§ 7 О несуществовании нетривиальных решений для одной
задачи Неймана
§ 8 Эллиптические уравнения, двумерный случай
§ 9 Об уравнениях Гамильтона - Якоби
Г Л А В А V. Задача Дирихле для эллиптических и
параболических уравнений в невыпуклых областях
§ 1 Оценка градиента
§ 2 Теоремы существования и единственности
§ 3 Двумерный случай
§ 4 Некоторые замечания
Г Л А В А VI. Начально краевые задачи для
ультрапараболических уравнений
§ 1 Параболическая регуляризация
§ 2 Априорные оценки и, их и иу
§ 3 Априорные оценки щ и иуу
§ 4 Теорема существования и единственности
§ 5 Другие краевые задачи
§ 6 Краевая задача в неограниченной области
ЛИТЕРАТУРА

Уравнения в частных производных первого и второго порядков лежат в основе математических моделей самых разнообразных явлений в механике, физике, гидродинамике, биологии и других областях знаний. Например, квазилинейное параболическое уравнение описывает нестационарные процессы теплопроводности, движения жидкостей и газов, оно возникает при математическом моделировании процессов химической кинетики, пограничного слоя, процессов роста и сосуществования популяций и т. п. Такое широкое распространение этих уравнений объясняется тем, что выводятся они из фундаментальных законов сохранения (материи, импульса, энергии).
В настоящей диссертации рассматриваются квазилинейные эллиптические, параболические и ультрапараболические уравнения второго порядка, а также уравнения Гамильтона-Якоби.
Параболическим и эллиптическим уравнениям второго порядка посвящено огромное количество статей и книг. Упомянем лишь некоторые наиболее известные монографии. По параболическим уравнениям - это книги
О.А.Ладыженской, В.А.Солонникова, Н.Н.Уральцевой [44], В.С.Белоносо-ва, Т.И.Зеленяка [7] и, сравнительно недавно вышедшая, книга Г.Либерма-на [54], по эллиптическим уравнениям книги О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой [45] и Д.Гилбарга, Н.Трудингера [14]. Также отметим монографию
Н.В.Крылова [40] по нелинейным параболическим и эллиптическим уравнениям.
Уравнениям Гамильтона-Якоби также посвящено большое число публикаций, упомянем монографии А.И.Субботина [64], П.-Л.Лионса [55] и Г.Барлеса [8].
Ультрапараболические уравнения изучены значительно хуже, поэтому остановимся на них несколько подробнее. Такие уравнения описыва-

Замечание 3.1. Вместо условия (3.5) достаточно потребовать существование а и с*2 (с*2 > а > 0) таких, что
Г Лр
Уа Ф{Р) 2’
Замечание 3.2. Достаточно, чтобы условия (3.40, (3.42) выполнялись при рг £ [—<71, — до] и р1 € [до, й] соответственно.
Замечание 3.3. Вместо условий (3.4) можно взять следующие: (3
f(t,x,u,pl,0 0) < ап(Ь,х,и,-ри0 0) при и <-т, рг € [50,91], (3.72)
/(*, х, и,рь 0 0) > -ап(Ь, х, и, -ръ 0 0) при и>т, рг е [-дъ -до]-
В этом случае в качестве барьера берем функцию А(хО = Н{—Х1), удовлетворяющую
тому же уравнению
~К'{х{) +-ф{Ъ! (х{)) = 0, но с другими краевыми условиями, а именно,
Н(-1х) = Н, Н{1) — т.
Замечание 3.4. Если выполнены условия (3-4) и (3.7), то верна оценка
Ы < Н(0).
Замечание 3.5. Выбор величины Н в (3.5) фактически обусловлен необходимостью выполнения условия Ъ!(х{) > 0 при |т1| < 12.
Замечание 3.6. Если условия (3-4) выполнены с ф = 0, то (3-4) можно заменить следующим условием:
и/(Ь, х, и, 0,0, ...,0) > 0 для и > М > т.