Задача Дирихле для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции

• Автор: Матвеева, Нюргуяна Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 105 с. : ил.

ГЛАВА 1. ВСТРЕЧНЫЕ ПОТОКИ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ .УРАВНЕНИЙ СО СЛАБЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

§ 1. Оценка максимума модуля решений

1°. Постановка задачи. Предположения

2°. Регуляризация

3°. Оценка максимума модуля решения

§2. Оценка пространственной производной

1°. Оценка производной на границе

2°. Глобальная оценка производной

§3. Разрешимость регулярпзованной задачи

1°. Гельдеровская непрерывность производной

2°. Разрешимость задачи в 1Р22(Й)

3°. Принадлежность г«(.г-Д,е) пространству В(&)
§4. Предельный переход
ГЛАВА 2. ВСТРЕЧНЫЕ ПОТОКИ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ
§ 1. Постановка задачи, регуляризация
§ 2. Оценка максимума модуля решений и производных на границе. 45 § 3. Оценка максимума модуля пространственной производной
§ 4. Предельный переход

§ 5. Общее квазилинейное уравнение
1°. Постановка задачи. Предположения
2°. Регуляризация
3°. Оценка модуля пространственной производной
4°. Предельный переход
ГЛАВА 3. ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ
§ 1. Постановка задачи. Регуляризация
§ 2. Автомодельные решения
§3. Тестовые решения
§4. Вычислительные алгоритмы
1°. I метод
2°. II метод
§ о. Примеры расчетов
1°. Пример
2°. Пример
3°. Пример
4°. Обсуждение результатов расчетов
5, ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

1°. Исторический обзор. Параболические уравнения, меняющие направление эволюции (уравнения переменного типа), возникают при математическом моделировании различных гидродинамических процессов: турбулентных течений вязкой жидкости, течений газа с немонотонным уравнением состояния, нелинейной теории горения и т.д.
Другим источником появления уравнений переменного типа является приближенное математическое моделирование с помощью разложения по малому параметру: уравнения пограничного слоя Прандтля для возвратных потоков жидкости, уравнения мелкой воды и двухслойной жидкости и другие.
Предметом наших исследований является следующий класс квазилинейных параболических уравнений переменного типа:
а(х, t, и)iit = a(x,t,ii,ux)iixx + b(x,t,u,ux),a > 0, (1)
где коэффициент а меняет знак на некотором многообразии. Первые исследования линейных уравнений переменного типа (а - const, Ь — О, а = .с, — 1 < х < 1) были осуществлены Жевре (1913) [24].
Достаточно полная теория линейных параболических уравнений переменного типа была построена С.А. Терсеновым и изложена в его монографии [80], где приводится полная библиография работ других авторов до 1985 г.
Библиография более поздних работ по этой тематике содержится в монографии И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, С.В. Попова [23].
Другие классы уравнений переменного типа, включая и квазилинейпроизводной решения. Оценка устанавливается с помощью дифференцирования уравнения регулярнзованной задачи и использования подстановки ах — я(и)д(хД). При специальном выборе функции z(^l) в трех областях оценивается тах|д|
Лемма 3 (Глобальная оценка их). Для решений и(хД) & В(С1) задачи
(3), (2) имеет место оценка
||их||п < М2 < оо (9)
с постоянной М2, не зависящей от параметров регуляризации е и £д.
Доказательство. Продифференцируем обе части (3) по х и, полагая их — z(u)g, (хД) €Е (О ППо).^о = {(яг,0 | М > 0}, получим следующее уравнение для функции д[х,Ь)
10д = а8~7дхх + едп + схдх + с2д, = Д (10)
Здесь а = (2ас'д+ах+Ь0)в~1+(аз~'1)^д; с2 = 2г'г~1щ£—<то дД = Хл-щ Ф*;
-Фк = Дк-Хдк + ^д4Ф, к = 1,4; Ф = а(5_7л5)8; Д0 = z-1blxs~'^; Д}
Д1(0)+^(1), д'0) = еЫ22-1ги-а'и4, Д[1)
Ь0хз~~1; Д2 — - 5z'fЬ0s~1~1 + ахД5-7; Дг = га3:35~'/.
Для оценки эиро |д| найдем функцию z = я(и) так, чтобы для некоторого фиксированного числа N выполнялось неравенство
дД > 0 при |д| > N > 1 (11)
Оценка |д| на промежутке в £ [0, тп], т <С 1.
Сначала построим г (и) на некотором промежутке |м[ = 5 € [0,ш] с фиксированной постоянной т <С 1 как решение уравнения
(ГЪ,), = -(/?-1)5-0, /3 = 1 + /?0 + 7 (0 < До < 1),