Периодические траектории бильярдных динамических систем

• Автор: Пушкарь, Петр Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 58 с.

Введение
Рассмотрим компактную гладкую строго выпуклую гиперповерхность (без края) в евклидовом пространстве. Рассмотрим лучи, движущиеся внутри поверхности по закону «угол падения равен углу отражения». Такой закон отражения определяет бильярдную динамическую систему, определенную на сле;дуюдар.м пространстве. Точ-кои пространства является пара, состощаа.рз точки гиперповерхности и не принадлежащего касательному пространству к гиперповерхности в этой точке направления. Динамическая система (отображение) определяй тся следующим образом: через точку проводим прямую вдоль направления, заданного в этой точке. Прямая пересечет нашу гиперповерхность еще в одной точке. Направление в полученной точке определяем как отраженное относительно касательного пространства (в полученной точке) к гиперповерхности направление прямой. Классический результат Люстерника и Шнирельмана утверждает, что у такой динамической системы, построенной по компактной гладкой выпуклой гиперповерхности в п-мерном евклидовом пространстве, не меньше п дважды периодических траекторий. Эта оценка точна и достигается на эллипсоиде с разными осями.

Рассмотрим многозначную бильярдную динамическую систему В, определенную подобным образом для не обязательно выпуклой гладкой гиперповерхности. В работе исследуется вопрос о числе дважды периодических траекторий такой динамической системы. Каждой дважды периодической траектории ((ж, а)(у, Ь))(В(х, а) = (;у,Ь), В(у,Ь) = (ж, а)) (х,у - точки гиперповерхности, а, Ь - направления в этих точках) сопоставим отрезок [ж, у] с концами на гиперповерхности. Условие дважды периодичности состоит в точности в том, что отрезок [х.у] перпендикулярен в концах к гиперповерхности. Пусть / — иммерсия многообразия Мп в ГУ+А Диаметром иммерсированного многообразия /(Мп) назовем отрезок, соединяющий две различные точки /(ж) и /(у) иммерсии и перпендикулярный к касательным плоскостям Д(Т±М) и /*(ТуМ) к иммерсированному многообразию в этих точках. Один из основных результатов работы состоит в следующей теореме.
Теорема 1. Пусть Мп замкнутое многообразие размерности п иВ = Е <Пт Н±(М. 22). Тогда, для иммерсии общего положения многообразия М в евклидово пространство БУ4, число диаметров Мп в БУ+А: не меньше |(В2 + (п — 1 )В).
Теорема 1 отвечает на вопрос о числе дважды периодических тра-екторий обобщенной бильярдной динамической системы для иммер-сированной в евклидово пространство гиперповерхности. В следующем утверждении обсуждается точность оценок теоремы 1.

Теорема 2. Для многообразий Зп (п-мерная сфера), Бп х Бк (про-

изведение п и к-мерной сферы) и 5') (двумерная сфера с д ручками) оценки Теоремы 1 точны и достигаются на вложениях в евклидово пространство П”+1; кп+к+1 и к3 соответственно.
На рисунке 1 показан вложенный в трехмерное евклидово пространство тор на котором достигается оценка Теоремы 1.

остальные 8 в плоском сечении.

Задача о диаметрах (двойных нормалях) иммерсированного подмногообразия общего положения евклидова пространства рассматривалась Такенсом и Уайтом в [25]. В [25] доказано, что число диаметров вложенного в евклидово пространство замкнутого многообразия Мк размерности к не меньше, чем:
д2 Т с/о
Т]У(М К)
(1п с 1
~2 + [ 2 +

д*2к ~ д>2к—1 + д2к-2 ~ о + д-2 к ~ д2к- + д-2к-2 ~ + й()
1 2 ) . 2

и для любого £ многообразие Сі(рЕ) трансверсально пересекается с Е0 х И.
Доказательство леммы. Локально расслоение Е —> М устроено как прямое произведение М на слой IV. Рассмотрим локальные коорди-
и (ги, у) канонические координаты на Т*М и Т*]¥, соответственно. В этих координатах 1-форма а, задающая контактную структуру на РЕ выглядит как а = си — рйд — ьбги. Следовательно, по формуле (3.2), векторное поле V- с контактным гамильтонианом К в этих координатах записывается в виде:
На многообразии Е0 х И это поле совпадает с векторным полем
поскольку на Е0 хй Л'(д,р, гг, г>, н.) = К{д,р,и) и многообразие Е0 хй задается условием V = 0. Из этого вытекают первые два утверждения
рЕ трансверсально Е0 хИ, следовательно, при любом а многообразие Са (;1) трансверсально Е0 х И. Лемма доказана.
Продолжим доказательство теоремы 5. К лежандрову многообра-
аном Кі, применима теорема Чеканова ([16] —теорема 3.1). Следова-
наты (грр,гс,у, и) на .РЕ = Р (М х У) = Т*М х Т*¥ х К, где (д,р)
Леммы. Многообразие Ео х И инвариантно относительно потока & и
зию рЕ С -Iі Е и потоку С1. определенному контактным гамильтони