Дифференциальные уравнения второго порядка с сингулярными коээфициентами

• Автор: Садриева, Рита Тагировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 91 с.

Глава 1. Асимптотика решений системы дифференциальных уравнений
второго порядка в вырожденном случае
1.1 Асимптотика решений системы дифференциальных уравнений в случае кратных собственных значений
1.2 Асимптотические формулы для решений системы п дифференциальных уравнений второго порядка в случае нулевого собственного значения
Глава 2. Исследование уравнения дли парциальных воли с быстро
осциллирующим потенциалом
2.1 Решения уравнения для парциальных волн с граничными условиями при х
2.2 Решения уравнения для парциальных волн с граничными условиями при X
2.3 Примеры. Функция Поста и Я-матрица Литература

Асимптотические методы применяются во многих областях математики, в том числе дифференциальных уравнениях, математической физике, квантовой механике и т.д.
Вопрос об асимптотическом поведении решений обыкновенных дифференциальных уравнений, начиная с конца XIX века, служит предметом многочисленных исследований. Различные результаты этих исследований изложены в работах [6, 10, 11,14,22, 27,29-32,34,36-38,43].
В различных физических задачах, таких как теория атомных столкновений, распространения радиоволн в анизотропной среде и т. д., основное место занимает изучение систем с гамильтонианом
Н (х,р) = р2Е„ + 1с А(х),
где к- большой параметр.
Приведем необходимые в дальнейшем определения.
Рассмотрим систему из п уравнений на интервале I - [а, Ь] (конечном или бесконечном):
Пу(х) = к3 А(х)у, (0.1)
где О = А/(к, к- большой параметр.
Обозначим через Я, (х), I < / < и, собственные значения матрицы А (х).
Определение 1. Точка хо является точкой поворота системы (0.1), если уравнение
йе1я21-к2А(х0)\ = 0 (к * 0)
имеет кратный корень.

Т. е., точка хо является точкой поворота системы (0.1) тогда и только тогда, когда матрица А(хо) имеет кратное или нулевое собственное значение.
Определение 2. Особая точка х = + со называется однородной особой точкой системы (0.1), если
Л (х)
lim —— = с/к Ф 0,1, оо при любых у, к.
^Лк(х)
Другими словами, существует функция q (х) такая, что при всех у Л,{х) * Cjq(x) (х -» +со), сj Ф 0, Cj ф ск (у Ф к),
т. е. собственные значения матрицы А (х) имеют одинаковый порядок роста при х —* + оо и асимптотически некратные.
Ранее И. М. Рапопортом [27] была установлена следующая теорема для случая кратных собственных значений системы дифференциальных уравнений первого порядка.
Теорема 0.1, Система дифференциальных уравнений
dy "
= w„(0>V+y +>w, + !/ *(/)>-*, 7 = 12 /„ -1,
Ш к=
(1уп +/ "
—ri=w,(o>’„,+/q=l’2,-»m»
Ш k=
e Ц*о»°°)> * = = 1,2 /,,
p = l,2 m; q = 1,2 m; np = l0+ll+... + lp_l; 10 = 0; /,+/2+... + /„ =я имеет w частных решения вида:

Уп„, = n„,i+J,„r+,(t)t'~J exp Jw,(0df,
i = l,2 lp; у = 1,2 /,; p = 1,2 m; 9 = l,2 m,

Получили, что справедливо следующее: ки{х,к)<-
с а'и(х) аи(х) а2{х)
кЛ]а(х) а(х) а(х) ап(х)
<СУ
а'и(х) ап(х) ап{х)
ап{х)
а2 (х) а2(х)
Отсюда имеем:

2. Ип(х,к)
1йп(х,к)сЬ ■

'5г(х,к)( - кц2(х) + (ф/х))33-(Ф,(х))п) + х„(х,к)
( ~ кЦг(х) + (Ф/хД3 -(Фх(х), )2 По аналогии с рассуждениями для элемента Иц (х, к) получим:
С аи(х) а'п(х) а'и{х) 1 С* аи(х) а’12(х) а'и(х)
к а2{х)11п(Х) а2(х) *2 ах)ап(х) ах)
Следовательно, |й|2(х,&)|<Д
< со.
Следствие 1.4. Из следствий 1.2, 1.3 и леммы 1.5 вытекает суммируемость элементов матриц С'1(х)(1лк'1 О^х)) Н(х,к),
к-'П + к-'С^Г'^О^ + С^х)) Н(х,к), Н(х,к)С,(х)(1+к-'С1(х)) П(хЛ) и
Н(х,к) С1(х)(1+к'10/(х)) па [хо, <я).
Лемма 1.6. Элементы матрицы 51'(х, к) ограничены на [хо, °с).
Доказательство.
Я(х,к) = (1 + к-'а,(х))-'С2(х).