Дискретные уравнения вида dun/dt = F(un-1, un, un+1) (n C Z) с бесконечным набором локальных законов сохранения

• Автор: Ямилов, Равиль Исламович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 129 c. : ил

Рассматриваются бесконечные системы нелинейных дифференциальных уравнений вида

,unj иЛ+(),

где t , UM(.t)€- £ , H - функция аналитическая. Среди них хорошо известными являются системы d U. w /d t — UH CuK+| - Un_i)) <2)

d Un/d t - (1-Un^tWK+| (3)

интегрируемые методом обратной задачи рассеяния D Л > [24] . Система (2) была получена еще Вольтерра при изучении проблем экологии [44]. Системам (2),(3), так же, как и близкой к ним цепочке Тоды

d 1Л.Ц t - jo С Ц. ^ |~Un) — J&X р ( U. п U ^ (4 )

посвящена обширная физико-математическая литература (см. [Il - [4] , [1 0] , [20] , [25] , [27] - [34] , [38] - [43] ).
Одним из отличительных признаков уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния, является наличие у них бесконечного набора законов сохранения (для (2) см. [2] ). Ведущая Тема настоящей диссертации - описание дискретных уравнений вида (1 ), обладающих бесконечным набором локальных законов сохранения. Перечислены все такие уравнения. Получен целый ряд новых примеров таких уравнений.
Деятельность по классификации уравнений с бесконечным числом законов сохранения или симметрий восходит к работам [5],[б] Ибрагимова и Шабата, которые рассматривали дифференциальные уравнения в частных производных вида

/It - F(U,^U /7>х, 2ма/1>х") (5)

и использовали в качестве признака симметрии. Классификации уравнений вида (5) посвящено довольно много исследо-ваний(см., например, i] , [l2]-[l 71, [lQ] ). 3 частности, получен полный список уравнений вида
~ х X + f ^ u ) ^х » ихх Ь <ô)
где Ll = Ъи /1)t , ^x~^U/dX и т.д., обладающих законами сохранения сколь угодно большого порядка [l3l,[lô~]. Основные уравнения этого списка таковы :
Ut~ Цххх+ ^и) , (7)
U-U. ^1(хЦххЛ ■ Рси,
Ut Uxxx ~ + Я “я U* ? (Р)
и±~ X X " Q <-иП С Ux^xx +

± vux Q<(Ltn+cc+-i-Q,;U)iux
(9 )
“x «x X ’ (10)
где с £■ € , a Peu) ,Qiu) - произвольные полиномы
второй и четвертой степеней соответственно. Вид (7) имеют как хорошо известное уравнение ({ортевега-де 'бриза, так и модифицированное уравнение Кортевега-де бриза. Уравнения (8 ), (9 ) возникли в работе Калоджеро, Дегаспериса [26], а уравнение (10) - в работе Кричевера, Новикова [р].
Текст диссертации состоит из пяти глав.
В первой главе введены и обсуждаются основные понятия такие, как локальный закон сохранения, симметрия и другие. Доказано несколько простых, но необходимых для дальнейшего утверждений. Среди них следует выделить важную лемму 1.3 о построении локальных законов сохранения при помощи пре-

образований вида
(11 )
переводящих решения и СЬ) одного дискретного уравнения

в решения ипііг) другого.
Вторая Глава IIосвящена описанию дискретных уравнений вида (1 ) с двумя локальными законами сохранения. Доказано предложение 2.1 о том, что для уравнения вида (1 ), имеющегде производная вычисляется в силу уравнения (1 ). Кроме того эта глава содержит основную теорему настоящей диссерта-пии - теорему 2.1. Она утверждает, что нелинейное уравнение вида (1 ) удовлетворяет условиям 012) в том и только в том случае, если оно эквивалентно (с точностью до замен вида •£-вЧц.’) > , е С' ) одному из уравнений основного или дополнительного списков. Основной список состоит из уравнений
го два локальных закона сохранения с порядками ,
выполнены условия
и±= Рій.) си,-и_л)} ц = Ріиг) Іси1я-иГ1~іи + и_1Г11і
6? 1-й) [ш, -и) 1-4-
(1 5)
(13)
(14)
(16)

(2.8.2) лишь тем, что коэффициенты второго уравнения не обязательно повторяют коэффициенты первого. Возвращаясь к условию (2.8.12), проверяем, что полученная система есть в точности система вида (2.8.2). Предложение 2.13 доказано.
Условие (2.8.4) означает, что ^0е- Ушл)-?Ш) . Помня о переобозначениях вида (2.6.10), будем считать, что ос- • . Найдутся функции ^ ' для. которых
ги~ І'шіНгЬ|')~ 9| £ Шл+а +■^(ц^-ц). (2.8.14 )
Предложение 2.14. Уравнение (2.8.1 )-(2.8.3 ), (2.8.14)
при о! ->і- о является уравнением вида (2.3.10) или

уравнением вида (2.3.9), а при £‘=-’г/=ь представляет.
о
собой уравнение вида (2.3.9).
Доказательство. Пусть ^ ^ = 0 . Помня о переобозначениях вида (2.6.10), можно считать, что ср-Л/д , т.е. (л) - 44 и., +иі~ -г Я • ;{оэ:(грици єн ты системы (2.8.2) постоянны (см. доказательство предложения 2.10). Кроме того, система совместна в точности тогда, когда
^ ^ я л = ё = Тей

Возможны, два случая: лл-р^Л --І (уравнение вида (2.3.10))

и , р,-)Г^о (уравнение вида (2.3.9)).
Если "->11=0 , то можно считать, что ^--=0 . Получаем уравнение вида і, _ Р си-и_Л— ±
ut" , + ч,
І- іи1'-и Я ш
где р = л^Ср^і ср . Оно превращается в уравнение вида