Динамические системы типа Черри на окружности и на поверхностях

• Автор: Медведев, Тимур Владиславович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 141 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Отображения окружности без периодических точек
1.1 Отображения окружности с флипами
1.2 Классификация отображений Черри окружности
2 Потоки типа Черри на двумерных поверхностях
2.1 Понятие потока типа Черри. Вспомогательные результаты .
2.2 Потоки типа Черри на двумерном торе
2.3 Потоки типа Черри на замкнутой неориентируемой поверхности рода
2.4 Потоки Черри на гиперболических поверхностях
3 Слоения Черри на двумерной сфере
3.1 Предварительные замечания
3.2 Орбита вращения
3.3 Влияние степени гладкости на характеристические числа
3.4 Топологическая классификация простейших слоений Черри
на сфере
Литература

Введение
Одной.' из основных задач качественной теории: динамических систем является топологическая классификация потоков и гомеоморфизмов, заданных на многообразиях. Существенные результаты в этом направлении для различных классов потоков и гомеоморфизмов были получены А.А.Андроновым, Л.С. Понтрягиным, Е.А. Леонтович, А.Г. Майером; многими другими математиками [31, 30]. Классификационные результаты, полученные в этих работах, касались, в основном; динамических систем, у траекторий кото- ; рых отсутствуют нетривиальные предельные множества. Топологические инварианты потоков с конечным множеством особых траекторий на двумерной’сфере были получены Е.А. Леонтович и А.Г. Майером [50], а для : ; потоков Морса-Смейла на компактных поверхностяхПейкшото [24].
В настоящей’ диссертации рассматриваются арациональные потоки и слоения на замкнутых двумерных поверхностях, то есть потоки и слоения без замкнутых траекторий (слоев) и сепаратрисных связей. Динамика таких потоков и слоений наиболее тесно-связана с топологией несущей поверхности. Объектом нашего интереса являются слоения и потоки, имеющие нетривиальные рекуррентные траектории (слои), то есть отличные. от; точки покоя (особенности) незамкнутые траектории (слои), лежащие . в собственном предельном множестве. Напомним-, что замыкание нетривиальной рекуррентной траектории (слоя) называется квазиминимальным множеством.
Потоки с нетривиальными рекуррентными траекториями существуют на ориентируемых поверхностях, начиная с рода 1 (тор), и на неориентиру-емых поверхностях, начиная с рода 3 [10, 22]. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда у потока (слоения) существует одно квазиминимальное множество, что в случае потоков на двумерном торе и замкнутой неориен-

тируемой поверхности М| рода 3 единственно возможно [7, 36]. Отметим, что в отличие от потоков, не имеющих нетривиальных рекуррентных траекторий на плоскости, двумерном диске и сфере, слоения на этих поверхностях могут иметь нетривиальные рекуррентные слои, и, соответственно, квазиминимальные множества [15, 16].
Изучение потоков с нетривиальными рекуррентными траекториями восходит к Пуанкаре [25], который рассматривал потоки; на двумерном торе без состояний равновесия и периодических траекторий: Пуанкаре показал;, что квазиминимальное множество таких потоков может быть либо всюду плотно (такой поток называется транзитивным), либо нигде не плотно. Примером транзитивного (аналитического) потока на торе является иррациональная обмотка, задаваемая на универсальном накрытии тора евклидовой плоскостью Ж2 системой ж — 1, у — /х, где ц иррационально. Пуанкаре полагал, что на торе можно задать аналитический поток с нигде не плотным квазимииимальным множеством. В 1932 году Данжуа [8]: однако показал, что такой поток не может быть даже гладкости 6'2. Вместе с тем в 1937 году Черри [6] построил аналитический ноток на торе, имеющий два состояния равновесия - узел и седло и нигде не плотное квазиминимальное множество; доказав тем самым ослабленную гипотезу Пуанкаре. Односвязную компоненту дополнения к квазиминимальному множеству, содержащую узел, Черри назвал черной ячейкой. Остальные компоненты этого дополнения - серыми ячейками.
Обобщение конструкции Черри позволило ввести класс потоков и слоений на замкнутых двумерных поверхностях, так называемых потоков и слоений Черри, топологической классификации которых посвящена настоящая диссертация. .
Для построения классификации потоков (и слоений) па поверхностях часто удобно использовать технику, предложенную Пуанкаре, заключающуюся в исследовании отображения последования, задаваемого потоком на замкнутой трансверсали. Для гомеоморфизмов окружности Пуанкаре показал существование топологического инварианта - числа вращения Пуанкаре, характеризующее “усредненный поворот”. Гомеоморфизмы окружности без периодических точек сопряжены (в транзитивном случае) или
(a; b) С (жо;жо + 1), ограниченный точками разрыва отображения /, на котором / не возрастает и строго монотонно убывает в некоторых лежащих на (a; b) полуокрестностях точек а и 6, назовем флипом (флип может содержать точки разрыва /). Обозначим через к число флипов на интервале (хош,хо + 1)- Из свойств 1 и 2 следует, что к конечно (возможно 0) и не зависит от выбора Хо- Множество преобразований прямой, удовлетворяющих свойствам 1-5 с к флипами обозначим через РфШ). Заметим, что из условия 5 следует, что если точка уо не является образом интервала постоянства отображения / и существует xq, что /(жо) = уо, то такое Xq единственно.
. Пусть я : R —> S1 - универсальное накрытие окружности З1, тг(ж) = х (mod 1). Тогда / £ Р/с(К) является накрывающим для некоторого преобразования / : S1 —^ S1, т.е. / о л — я о /. Обозначим через Р/ДЕ1) множество преобразований окружности S1, для каждого из которых существует накрывающее преобразование из Р&(Ж). Проекции флипов при отображении я мы также будем называть флипами. Ограничение /|(а;ь)> где / £ Рк{S1), а (а; Ь) - флип, меняет ориентацию. Наряду с / £ Р/:(§1) мы будем также рассматривать /* £ Ро(®1) такую, что /* о я = я о /*. Заметим, что из условия 3 следует, что / £ Р/ДЕ1) не может быть обращающим ориентацию гомеоморфизмом окружности.
Число lim == rot (f),x £ Ж, назовем числом вращения преоб-
|п|->оо
разования / £ Р/ДЖ). Если / £ Р/ДЕ1), то число lim (mod 1) =f
|n|—>
rot(/), ж € R, где / £ Р/ДМ) - накрывающее для / преобразование, назовем числом вращения преобразования /. Корректность определения числа вращения и независимоств его от точки х доказаны в [2].
Универсальное накрытие окружности я : R —У S1 задает на ней ориентацию, которую мы в дальнейшем будем считать фиксированной.
Определение 1.1 Преобразование / £ Р/ДМ) называется преобразованием тлта Черри прямой I с к флипами, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1. / не имеет периодических точек, (т.е. fk(x) ф х + т для любых k £ Z {0}, т Eh) и число вращения rot(/) иррационально;